Базис Шаудера

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда [math]X[/math] имеет базис Шаудера.

Определение:

Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].

Примеры:

• ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
• в [math]L_p(E)[/math] и [math]C[a, b][/math] тоже есть базис Шаудера
• но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в [math]X[/math] есть базис Шаудера, тогда между [math]x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k[/math] и [math](\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)[/math] — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|[/math].

Утверждение:

Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — Банахово.

[math]\triangleright[/math]

TODO: доказать, доказательство есть в Люстернике-Соболеве

[math]\triangleleft[/math]

TODO: разбить то, что идет далее, на набор утверждений и теорем

Определим биективный линейный оператор [math]T: F \to X[/math] как [math]T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n[/math].

Покажем, что он ограничен: [math]\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|[/math], то есть [math]\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1[/math].

Так как [math]F[/math] и [math]X[/math] — банаховы, по теореме Банаха об обратном операторе, обратный оператор также ограничен.

[math]\|T^{-1}\| \le C[/math], то есть, можно писать, что [math]\|\alpha\| \le C \|x\|[/math].

[math]\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|[/math].

Получили, что [math]\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|[/math].

Запишем оператор [math]T[/math] как [math]S_n + R_n[/math], тогда [math]R_n = T - S_n[/math], [math]\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C[/math].

Это значит, что нормы всех остаточных операторов [math] R_n [/math] ограничены одним и тем же числом.

Пусть [math]A : X \to X[/math] — компактный.

[math]A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2[/math].

[math]S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k[/math].

[math]R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math], то есть, [math]A_1[/math] — конечномерный оператор.

Проверим, что [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| \lt \varepsilon[/math]:

Для любого [math]y \in X[/math], [math]\|R_n\| \le 1 + C[/math] и [math]R_n(y) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

[math]M[/math] — относительно компактно в [math]X[/math], следовательно, для любого [math]\varepsilon \gt 0[/math] есть конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]z_1, \ldots, z_p[/math].

[math]\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| \lt \varepsilon[/math]

[math]\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|[/math]

[math] \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math], поэтому [math] \exists N_j: \forall n \gt N_j \|R_n z_j\| \lt \varepsilon [/math].

Возьмем [math] N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j [/math], тогда [math] \forall n \gt N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| \lt \varepsilon [/math].

Значит, [math]\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon[/math].

[math]\overline V[/math] — единичный шар в [math]X[/math], [math]M = A(\overline V)[/math] — компактно.

[math]R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math] \overline V [/math], так как [math]R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math]M[/math].

Получили [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| \lt \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}[/math], то есть, [math]\|R_{n_0}A\| \lt \varepsilon[/math].

Итак, если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом Шаудера, [math]A:X \to X[/math] — компактный, [math]\forall \varepsilon \gt 0: A = A_1 + A_2[/math], где [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty, \|A_n\| \lt \varepsilon[/math] — почти конечномерность компактного оператора.