Ортогональность

Ортогональность в евклидовом пространстве

Определение:

Евклидово пространство над комплексным полем [math] \mathbb{C} [/math] называется унитарным пространством

Определение:

Расстояние между двумя элементами унитарного пространства: [math]dist(x;y)= \Vert x-y \Vert [/math]

Определение:

Пусть [math]x,y \in E[/math]. Говорят, что [math]x \bot y [/math], если [math]\left \langle x;y \right \rangle_G=G(x,y)=0[/math]

Лемма:

Пусть [math]x \bot x_1, x_2...x_k[/math]. Тогда [math] x \bot \forall [/math] линейной комбинации [math] \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i[/math], то есть [math]x \bot x_i, \ (i=1..k)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Пусть [math]L - [/math] подпространство унитарного линейного пространства [math]E[/math], тогда говорят, что [math]x \bot L [/math], если [math]x \bot \forall y \in L [/math]

Определение:

Подпространство [math]M=\{[/math] все [math]x \in E: \ x \bot L \}[/math] называется ортогональным дополнением к [math]L[/math] в [math]E[/math], обозначается [math]M=L^ \bot [/math]

Теорема:

Если в наборе векторов [math] \{x_i\}_{i=1}^{k}[/math], [math]x_i \bot x_j (i \ne j)[/math], тогда набор[math] \{x_i\}_{i=1}^{k} - [/math] ЛНЗ

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math] \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0[/math] (доказать). [math]\left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x_j \right \rangle = \left \langle 0_E;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0[/math] 1) [math]i \ne j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0 [/math] 2) [math]i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

NB: [math]k \leqslant n =\dim E[/math]

Теорема:

Теорема Пифагора: пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{k}[/math] и [math]x_i \bot x_j (i \ne j)[/math], тогда [math]\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} x_i;\sum\limits_{j=1}^{k} x_j \right \rangle=\sum\limits_{i,j=1}^{k} \left \langle x_i;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \left \langle x_i;x_i \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Ортогональный и ортонормированный базис

Определение:

Пусть [math]E[/math] - унитарное пространство. Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортогональным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0[/math], где [math](i \ne j)[/math].

Определение:

Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортонормированным (ОРТН), если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}[/math], то есть: 1) [math]e_i \bot e_j[/math], для [math](i \ne j)[/math]. 2) [math] \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) [/math]

Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)

Утверждение:

Пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ЛНЗ [math](x_i \ne 0)[/math] 1) [math]e_1=x_1[/math] 2) [math]e_2=x_2 + \alpha_1 e_1[/math] и так далее k) [math]e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] [math](*)[/math]

[math]\triangleright[/math]

На 2-ом шаге надо, чтобы [math]e_1 \bot e_2[/math], то есть [math]0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle [/math] [math] \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } [/math] На k-ом шаге уже есть [math]e_1, e_2...e_{k-1}[/math] [math]-[/math] попарно [math] \bot \ (k \leqslant m)[/math]. Надо, чтобы [math]e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)[/math] Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_i \right \rangle [/math] Необходимо, чтобы [math]0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle [/math], где [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j [/math] Тогда [math]\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }[/math] Лемма: Данный процесс не оборвется, то есть все [math]e_i \ne 0[/math] Доказательство: [math]\triangleright[/math] Докажем методом от противного. Пусть [math]e_k=0[/math], тогда [math](*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}[/math] [math]\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2[/math] - линейная комбинация[math] \{x_1, x_2\} [/math] и так далее [math]\alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] - линейная комбинация[math]\{x_1, x_2...x_{k-1}\} [/math] Тогда [math]0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i [/math]. Но [math]\{x_1...x_k\} - [/math] ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у [math]x_k[/math]), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ. Значит, предположение не верно и [math]e_k \ne 0[/math], то есть процесс ортогонализации не оборвется пока набор будет ЛНЗ. [math]\triangleleft[/math] [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} \rightarrow \{e_i\}_{i=1}^{n}[/math], таким образом получаем ортогональный набор векторов.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]\{x_i\}_{i=1}^{k-1} - [/math] ЛНЗ, [math]\{x_i\}_{i=1}^{k} - [/math] ЛЗ, тогда [math]e_k=0[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство очевидно из леммы, доказанной выше.

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

Лемма:

[math] \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_k \right \rangle [/math] [math] \left \langle e_k;e_k \right \rangle = \left \langle x_k;e_k \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_k \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_k \right \rangle [/math], но [math] \left \langle e_i;e_k \right \rangle=0 \ (i=1..k-1)[/math] [math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2= \left \langle x_k;e_k \right \rangle [/math] по неравенству Шварца [math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2 \leqslant \Vert x_k \Vert \cdot \Vert e_k \Vert [/math], так как [math]\Vert e_k \Vert \ne 0 \Rightarrow \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортогональный и даже ортонормированный базис.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Ортогональный базис получается процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Из ортогонального по определению легко получить ортонормированный.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math] \forall x,y \in E [/math] в ОРТН базисе [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{ \eta^k }[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Если для [math] \forall x,y \in E [/math] верно, что [math] \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k}[/math], то соответствующий базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ОРТН.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что [math] \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta^{ik} [/math], тогда базис ОРТН по определению.

[math]\triangleleft[/math]