Метрический тензор

Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого

Рассмотрим отображение [math]x \in E \longrightarrow f \in E^*[/math] по формуле [math]\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E[/math] Назовём это равенство [math](*)[/math]

Лемма (1):

Пусть [math]x \rightarrow f_1[/math] и [math]x \rightarrow f_2[/math]. Тогда [math]f_1=f_2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По равенству [math](*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)[/math] и [math]\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)[/math] Вычтя одно из другого, по линейности [math]E^*[/math] получим: [math]0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_{E^*} \Longrightarrow f_1=f_2[/math] Таким образом, вектору [math]x[/math] соответствует единственная форма [math]f[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

Пусть [math]f \rightarrow x_1[/math] и [math]f \rightarrow x_2[/math]. Тогда [math]x_1=x_2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По равенству [math](*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)[/math] и [math]\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)[/math] Вычтя одно из другого, по линейности [math]\left\langle \right\rangle[/math] получим: [math]\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2[/math] Таким образом, форме [math]f[/math] соответствует единственный вектор [math]x[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3, о линейности изоморфизма):

Если [math]x_1 \longleftrightarrow f_1[/math] и [math] x_2 \longleftrightarrow f_2[/math], то [math] \Longrightarrow x_1+x_2 \longleftrightarrow f_1+f_2[/math] и [math] \alpha x_1 \longleftrightarrow \alpha f_1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Линейность изоморфизма напрямую следует из линейности обоих пространств: [math]\left\langle \alpha x_1,y\right\rangle = \alpha\left\langle x_1,y\right\rangle = \alpha(f_1,y)= ( \alpha f_1, y);[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Формула [math](*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E[/math] определяет обратимый линейный оператор [math]\mathcal{G}: E \Longrightarrow E^*(\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow E(\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)[/math]

Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.

Пересадка формы из [math]E^*[/math] в [math]E[/math]

Рассмотрим [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E[/math]; [math]{\{f^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E^*[/math]

[math](f^k;e_i) = \delta^k_i[/math](сопряжённые базисы)

Рассмотрим [math]G^{-1}f^k = e_i \in E[/math]

Лемма (1):

[math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E[/math];

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

ЛНЗ набор [math]\{ f^1, ... , f^n\}[/math] под действием [math]G^{-1}[/math] переходит в [math]\{ e^1, ... , e^n\}[/math] Значит, [math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

[math]\left\langle e^k;e^i\right\rangle=\left\langle e^i;e^k\right\rangle = \delta^k_i[/math];

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E[/math] Пусть [math]y=e_i[/math], тогда [math]\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i[/math] Рассмотрим [math]\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_k[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Наборы векторов [math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] и [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] называются биортогональными базисами

NB:[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle \longleftrightarrow g_{ik}=\left\langle e_i,e_k\right\rangle[/math]

[math]G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}[/math]

Теорема:

[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math]; [math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно) Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math]) [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math] Переход от [math](2) к (1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу: [math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приводим к равенству [math](1)[/math]

[math]\triangleleft[/math]