Алгебра

Умножение линейных операторов

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y [/math] и [math]\mathcal{B} \colon Y \to Z [/math], причём [math]\dim X = n[/math], [math]\dim Y = m[/math] и [math]\dim Z = p[/math]. Тогда отображение [math]\l \colon X \to Z[/math] называется называется произведением линейных операторов [math]\mathcal{B}[/math] и [math]\mathcal{A} \ (l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \ l(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)[/math]

Лемма:

Если [math]l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math], то [math]l[/math] - линейный оператор, т.е. [math]l \in X \times Z [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

УПРАЖНЕНИЕ

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^n[/math] - базис [math]X[/math], [math]\{h_k\}_{k=1}^m[/math] - базис [math]Y[/math], [math]\{l_s\}_{s=1}^p[/math] - базис [math]Z[/math] и [math] A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{A}\lt \tex\gt , \lt tex\gt B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{B}\lt \tex\gt , \lt tex\gt C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||[/math] - матрица [math]l\lt \tex\gt , где \lt tex\gt l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math]. Тогда [math]C = B \cdot A[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

УПРАЖНЕНИЕ

[math]\triangleleft[/math]