Мост, эквивалентные определения — различия между версиями
| Строка 24: | Строка 24: | ||
|proof = | |proof = | ||
<math>(1) \Rightarrow (2)</math> Пусть ребро <math>x</math> соединяет вершины <math>a</math> и <math>b</math>. Пусть граф <math> G - {x} </math> - связный. Тогда между вершинами <math>a</math> и <math>b</math> существует еще один путь, т.е. между вершинами <math>a</math> и <math>b</math> существуют два реберно неперескающихся пути. Но тогда ребро <math>x</math> не является мостом графа <math>G</math>. Противоречие. | <math>(1) \Rightarrow (2)</math> Пусть ребро <math>x</math> соединяет вершины <math>a</math> и <math>b</math>. Пусть граф <math> G - {x} </math> - связный. Тогда между вершинами <math>a</math> и <math>b</math> существует еще один путь, т.е. между вершинами <math>a</math> и <math>b</math> существуют два реберно неперескающихся пути. Но тогда ребро <math>x</math> не является мостом графа <math>G</math>. Противоречие. | ||
| + | <math>(2) \Rightarrow (4)</math> В условиях определения (4) пусть существует такие вершины <math>u</math> и <math>w</math>, что между ними существует простой путь <math>P: x \notin P</math> | ||
}} | }} | ||
Версия 03:27, 8 октября 2010
Пусть - связный граф.
| Определение: |
| (1) Мост графа - ребро, соединяющее как минимум две компоненты реберной двусвязности . |
| Определение: |
| (2) Мост графа - ребро, при удалении которого граф становится несвязным. |
| Определение: |
| (3) Ребро является мостом графа , если в существуют такие вершины и , что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро |
| Определение: |
| (4) Ребро является мостом графа , если существует разбиение множества вершин на такие множества и , что и ребро принадлежит любому простому пути |
| Теорема: |
Определения (1), (2), (3) и (4) эквивалентны. |
| Доказательство: |
|
Пусть ребро соединяет вершины и . Пусть граф - связный. Тогда между вершинами и существует еще один путь, т.е. между вершинами и существуют два реберно неперескающихся пути. Но тогда ребро не является мостом графа . Противоречие. В условиях определения (4) пусть существует такие вершины и , что между ними существует простой путь |
