Изменения

'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') <tex> M </tex> над множеством <tex> S </tex> <tex>(</tex>обозначается как <tex> M_S )</tex> называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> {{---}} набором всевозможных последовательностей (или цепочек) конечной длины (или даже нулевой) из элементов, полученных конечным числом применений ассоциативной операции к элементам исходного множества <tex> S </tex>.

{{Определение|definition='''Гомоморфизмом моноидов''' (англ. ''monoid homomorphism'') Тривиальным примером будет, если взять множество <tex>MS = \varnothing </tex> и операцию <tex>N\cup </tex> называется отображение . Тогда <tex>S^* \varphi equiv \colon M \rightarrow Nvarnothing </tex> совместимое с операциями из <tex> M </tex> и <tex> N </tex> такое, что . Другой пример: <tex> S = \forall m{0, m' 1\in M \colon \varphi(m\cdot m') = \varphi(m) \cdot \varphi(n)} </tex>, а также операция {{---}} сложение. Тогда <tex>S^* \equiv \mathbb{N} \varphi(cup \varepsilon_M) = {0\varepsilon_N} </tex>. }}Дадим теперь более формальное определение.

'''Свободным моноидом''' над множеством <tex> S </tex> называется моноид <tex> M </tex> вместе с отображением <tex> i\colon S \rightarrow M </tex> при условии, что для любого моноида <tex> N </tex> и для любых отображений <tex> f \colon S \rightarrow N </tex> существует единственный [[Гомоморфизм групп | гомоморфизм ]] моноидов <tex> \overline{f} \colon M(S) M_S \rightarrow N </tex> такой, что <tex> \overline{f} \circ i = f </tex>.