Отношение вершинной двусвязности

Вершинная двусвязность

Определение:

Два ребра графа называются вершинно двусвязными (vertex biconnected), если существуют вершинно непересекающиеся пути, соединяющие их концы.

Заметим, что если имеется два различных двусвязных ребра, то они лежат на некотором вершинно простом цикле.

Теорема:

Отношение вершинной двусвязности является отношением эквивалентности на ребрах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

К доказательству транзитивности Рефлексивность: В данном случае имеем 2 пустых пути, которые, очевидно, не пересекаются. Симметричность: Следует из симметричности определения. Транзитивность: Пусть имеем ребра: [math]ef[/math] вершинно двусвязно с [math]cd[/math], [math]cd[/math] вершинно двусвязно с [math]ab[/math], при этом все они различны. Ребра [math]ef[/math] и [math]cd[/math] лежат на вершинно простом цикле [math]C[/math]. Будем считать, что существуют непересекающиеся пути [math]P : a \leadsto c[/math], [math]Q : b \leadsto d[/math] (ситуация, когда они идут наоборот, разбирается аналогично). Пусть [math]x[/math] — первая вершина на [math]P[/math], лежащая также на [math]C[/math], [math]y[/math] — первая вершина на [math]Q[/math], лежащая на [math]C[/math]. Проделав пути от [math]a[/math] до [math]x[/math] и от [math]b[/math] до [math]y[/math], далее пойдем по циклу [math]C[/math] в нужные (различные) стороны, чтобы достичь [math]e[/math] и [math]f[/math]. То есть [math]ef[/math] вершинно двусвязно с [math]ab[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Рассмотрим следующее определение: вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются вершинно двусвязными, если между ними существуют 2 пути, не пересекающихся по вершинам, за исключением концов. Это определение не может претендовать на корректность, так как в этом случае отношение вершинной двусвязности перестанет быть транзитивным.

Блоки

Определение:

Блоками (block), или компонентами вершинной двусвязности графа, называют его подграфы, множества ребер которых - классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.

Точки сочленения

Определение:

Точка сочленения (articulation points) графа [math]G[/math] — вершина, принадлежащая как минимум двум блокам [math]G[/math].

Определение:

Точка сочленения графа [math]G[/math] — вершина, при удалении которой в [math]G[/math] увеличивается число компонент связности.

Литература

• Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009

См. также

• Отношение реберной двусвязности