Отношение рёберной двусвязности

Реберная двусвязность

Определение:

Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными (edge biconnected), если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.

Теорема:

Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] — отношение реберной двусвязности. К доказательству транзитивности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно) Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно) Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть из [math] w [/math] в [math] v [/math] есть два реберно непересекающихся пути, [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] соответственно. Обозначим за [math] C [/math] объединение двух реберно непересекающихся путей из [math] u [/math] в [math] v [/math]. [math] C [/math] будет реберно-простым циклом. Пусть вершины [math]a[/math] и [math]b[/math] — первые со стороны [math]w[/math] вершины на пересечении [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] с [math] C [/math] соответственно. Рассмотрим два пути [math] wau [/math] и [math] wbu [/math], такие, что части [math] au [/math] и [math] bu [/math] идут в разные стороны по циклу [math] C [/math]. Наличие двух таких реберно непересекающихся путей очевидно, а значит [math] u [/math] и [math] w [/math] реберно двусвязны.

[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:

Компонентами реберной двусвязности графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.

См. также

• Отношение вершинной двусвязности
• Визуализатор - компоненты двусвязности

Литература

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6