Нормальная подгруппа

Нормальные подгруппы

Определение:

Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если [math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math].

Свойства

Утверждение:

Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] нормальна тогда и только тогда, когда для любых [math]x \in G[/math] выполнено [math]xHx^{-1}=H[/math].

[math]\triangleright[/math]

[math]xHx^{-1} \subset H[/math] по определению [math]H[/math]. Подставив в предыдущее выражение [math]x^{-1}[/math] вместо [math]x[/math], видим, что [math]x^{-1}Hx \subset H[/math]. Следовательно, [math]H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}[/math]. Итого, [math]xHx^{-1}=H[/math]. В другую сторону — прямо из определения.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Любая подгруппа абелевой группы — нормальна.

[math]\triangleright[/math]

[math]x n x^{-1} = x x^{-1} n = en = n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

• Подгруппа [math]H =\{(1)[/math], [math](2[/math] [math]3)\}[/math] группы [math]S_3[/math] группы перестановок множества из трех элементов не является абелевой.