Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями
| Строка 10: | Строка 10: | ||
|proof= | |proof= | ||
Пусть <math>R</math> - отношение реберной двусвязности. | Пусть <math>R</math> - отношение реберной двусвязности. | ||
| + | |||
'''Рефлексивность:''' <math>(u, u)\in R. </math> (Очевидно) | '''Рефлексивность:''' <math>(u, u)\in R. </math> (Очевидно) | ||
| Строка 15: | Строка 16: | ||
'''Транзитивность:''' <math>(u, v)\in R </math> и <math>(v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. </math> | '''Транзитивность:''' <math>(u, v)\in R </math> и <math>(v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. </math> | ||
| − | ''Доказательство:'' Пусть <math>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</math> и <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</math> | + | |
| + | ''Доказательство:'' Пусть <math>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</math>(реберно непересекащиеся пути) и <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</math> (реберно непересекащиеся пути). | ||
| + | |||
Выберем вершины <math>x_1</math> и <math>x_2</math> так, что <math>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),</math> <math>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</math> и <math>(v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.</math> | Выберем вершины <math>x_1</math> и <math>x_2</math> так, что <math>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),</math> <math>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</math> и <math>(v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.</math> | ||
Получим два реберно непересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). </math> | Получим два реберно непересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). </math> | ||
| + | |||
Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>) | Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>) | ||
Если <math>(u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности. | Если <math>(u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности. | ||
Версия 20:35, 10 октября 2010
Реберная двусвязность
| Определение: |
| Две вершины и графа называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути. |
| Теорема: |
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах. |
| Доказательство: |
|
Пусть - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: (Очевидно) Коммутативность: (Очевидно) Транзитивность: и Доказательство: Пусть (реберно непересекащиеся пути) и (реберно непересекащиеся пути). Выберем вершины и так, что и Получим два реберно непересекающихся пути и Действительно, (реберная двусвязность и ). (реберная двусвязность и ) Если {какой-то путь} или {какой-то путь}, то тогда вершины и не связаны отношением реберной двусвязности. |
Компоненты реберной двусвязности
| Определение: |
| Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности. |
