Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (→‎Реберная двусвязность)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
−
Две вершины <math>U</math> и <math> V</math> графа <math>G</math> называются '''реберно двусвязными''', если между этими вершинами существуют два реберно не пересекающихся пути.
+
Две вершины <tex>U</tex> и <tex> V</tex> графа <tex>G</tex> называются '''реберно двусвязными''', если между этими вершинами существуют два реберно не пересекающихся пути.
 
}}
 
}}
  
Строка 9: Строка 9:
 
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
 
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
 
|proof=
 
|proof=
−
Пусть <math>R</math> - отношение реберной двусвязности.
+
Пусть <tex>R</tex> - отношение реберной двусвязности.
  
−
'''Рефлексивность:''' <math>(u, u)\in R. </math> (Очевидно)
+
'''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно)
  
−
'''Коммутативность:''' <math>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </math> (Очевидно)
+
'''Коммутативность:''' <tex>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </tex> (Очевидно)
  
−
'''Транзитивность:''' <math>(u, v)\in R </math> и <math>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </math>
+
'''Транзитивность:''' <tex>(u, v)\in R </tex> и <tex>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </tex>
  
−
''Доказательство:'' Пусть <math>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</math>(реберно не пересекающиеся пути) и  <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</math> (реберно не пересекающиеся пути).
+
''Доказательство:'' Пусть <tex>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</tex>(реберно не пересекающиеся пути) и  <tex>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</tex> (реберно не пересекающиеся пути).
  
−
Выберем вершины <math>x_1</math> и <math>x_2</math> так, что <math>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),</math> <math>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</math> и <math>(v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.</math>
+
Выберем вершины <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex> так, что <tex>P_1 \land Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),</tex> <tex>P_2 \land Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)</tex> и <tex>(v \rightsquigarrow x_1) \land (v \rightsquigarrow x_2) = v.</tex>
  
−
Получим два реберно не пересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). </math>
+
Получим два реберно не пересекающихся пути <tex>R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \lor (x_1 \rightsquigarrow w) </tex> и <tex>R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \lor (x_2 \rightsquigarrow w). </tex>
  
−
Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>)
+
Действительно, <tex> (u \rightsquigarrow x_1) \land (u \rightsquigarrow x_2) = u</tex>(реберная двусвязность <tex>u</tex> и <tex>v</tex>). <tex> (x_1 \rightsquigarrow w) \land (x_2 \rightsquigarrow w) = w</tex>(реберная двусвязность <tex>v</tex> и <tex>w</tex>)
−
Если <math>(u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности.
+
Если <tex>(u \rightsquigarrow x_1) \land (x_2 \rightsquigarrow w)= </tex> {какой-то путь} или <tex>(u \rightsquigarrow x_2) \land (x_1 \rightsquigarrow w)= </tex> {какой-то путь}, то тогда вершины <tex>v</tex> и <tex> w</tex> не связаны отношением реберной двусвязности.
 
}}
 
}}
  

Версия 23:49, 13 октября 2010

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]U[/math] и [math] V[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно не пересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности.

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Коммутативность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство: Пусть [math]P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v[/math](реберно не пересекающиеся пути) и [math]Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w[/math] (реберно не пересекающиеся пути).

Выберем вершины [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] так, что [math]P_1 \land Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),[/math] [math]P_2 \land Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)[/math] и [math](v \rightsquigarrow x_1) \land (v \rightsquigarrow x_2) = v.[/math]

Получим два реберно не пересекающихся пути [math]R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \lor (x_1 \rightsquigarrow w) [/math] и [math]R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \lor (x_2 \rightsquigarrow w). [/math]

Действительно, [math] (u \rightsquigarrow x_1) \land (u \rightsquigarrow x_2) = u[/math](реберная двусвязность [math]u[/math] и [math]v[/math]). [math] (x_1 \rightsquigarrow w) \land (x_2 \rightsquigarrow w) = w[/math](реберная двусвязность [math]v[/math] и [math]w[/math])

Если [math](u \rightsquigarrow x_1) \land (x_2 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь} или [math](u \rightsquigarrow x_2) \land (x_1 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь}, то тогда вершины [math]v[/math] и [math] w[/math] не связаны отношением реберной двусвязности.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:
Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Отношение вершинной двусвязности

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_рёберной_двусвязности&oldid=3873»