Класс P

В теории сложности Класс [math]P[/math] — класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть

[math]P=\bigcup_{i=0}^{\infty} DTIME(in^i)=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{\infty} DTIME(in^k)[/math].

Определение

Язык L лежит в классе [math]P[/math] тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга [math]m[/math], что:

1. [math]m[/math] завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных
2. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \in L[/math], то она допустит его
3. если на вход машине [math]m[/math] подать слово [math]l \not\in L[/math], то она не допустит его

Свойства класса [math]P[/math]

1. Замкнутость относительно дополнений. [math] L \in P \Rightarrow \overline L \in P[/math]
2. Замкнутость относительно сведения по Карпу. [math] L \in P , M \le L \Rightarrow M \in P[/math]
3. Замкнутость относительно сведения по Куку. [math] L \in P , M {\le}_c L \Rightarrow M \in P[/math]
4. [math]L \subset P \Rightarrow P=P^L[/math], где [math]C^D[/math] — множество языков, разрешимых с органичением C с помощью оракула из D (C и D — сложностные классы).

Примеры задач и языков из [math]P[/math]

Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:

• определение связности графов;
• вычисление наибольшего общего делителя;
• проверка простоты числа.

Но, по теореме о временной иерархии существуют и задачи не из [math]P[/math].

Задача равенства [math]P[/math] и [math]NP[/math]

Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов [math]P[/math] и NP, не разрешенный по сей день. Однако легко показать, что по определению, [math] P \subset NP[/math], так как достаточно для любой задачи класса [math]P[/math] привести ее решение в качестве сертификата, а значит задача по определению будет входить в класс [math]NP[/math]