Функциональное программирование

Кр1

Убрать все сокращения и расставить все скобки

(λ a b . (λ c d e . e) a) (x y) y (λ f . x) y

Решение

Скобки ставятся по следующим правилам:

• тело абстракции заключается в скобки: λ x . M [math] \Rightarrow [/math] λ x . (M)
• аппликация левоассоциативна: a b c d [math] \Rightarrow [/math] ((a b) c) d
• сокращения раскрываются во вложенные лямбды (сразу с расставлением скобок): λ a b c . M [math] \Rightarrow [/math] λ a . (λ b . (λ c . (M)))

Важно: тело абстракции забирает всё до конца той скобки, в которую заключена.

Итого: ((((λ a . (λ b . ((λ c . (λ d . (λ e . (e)))) a))) (x y)) y) (λ f . (x))) y

Привести в нормальную форму

λ a b . a (λ c . b c) a (λ d . d) a
λ a . (λ b . y) (λ c . y (y (λ d . a a a)) (x x) a)

Решение

В нормальной форме нет редукций. Если нормальная форма существует, то её можно достичь при помощи редукций нормальным порядком, а аппликативным можно и не достичь.

1. Уже в нормальное форме, как ни странно
2. λ a . y

Нормальный порядок редукции

(λ a . y (y (y (λ b . a))) y) (x (x (x (λ c d . d) y)) x)

Здесь про стратегии редуцирования с примерами и определениями.

Нормальный порядок редуцирования — сначала раскрывается самый левый самый внешний редекс. Пример не очень удачный, так в нём всего одна редукция, после которой получится: y (y (y (λ b . (x (x (x (λ c d . d) y)) x)))) y

Более показательные и содержательные примеры (во всех случаях одна редукция будет произведена):

• (λ a . a) ((λ x . x) y) [math] \Rightarrow [/math] (λ x . x) y
• x (λ a . ((λ x . x) y) ((λ z . z) y)) [math] \Rightarrow [/math] x (λ a . y ((λ z . z) y))

Аппликативный порядок редукции

Здесь ещё про стратегии редуцирования, но немного другим языком (может быть, кому-то более понятным).

Аппликативный порядок редуцирования — первым делом редуцируем самый левый самый глубокий терм. То есть сначала упрощаем "аргументы" аппликации.

Те же примеры (во всех случаях одна редукция будет произведена):

• (λ a . a) ((λ x . x) y) [math] \Rightarrow [/math] (λ a . a) y
• x (λ a . ((λ x . x) y) ((λ z . z) y)) [math] \Rightarrow [/math] x (λ a . ((λ x . x) y) y)

Ещё один для разнообразия: ((λ x . y) (λ z . t)) ((λ a b c . a b c ((λ s . t) y) (λ t . x) u) (λ x . x)) ((λ x . x x) z) [math] \Rightarrow [/math] ((λ x . y) (λ z . t)) ((λ a b c . a b c ((λ s . t) y) (λ t . x) u) (λ x . x)) (z z)

Ленивый порядок редукции

Ленивый порядок редуцирования — это когда мы якобы заворачиваем терм в коробку, и если делаем редукцию в одном из термов коробки, то она делается во всех. При этом сам порядок редуцирования нормальный.

То есть пример:

(λ f . f f) ((λ x . x) z)

Сначала делаем обычную редукцию нормальным порядком и получаем:

((λ x . x) z) ((λ x . x) z)

А потом после редукции нормальным порядком надо сделать изменения сразу в двух термах, потому что они якобы в коробках, и получим суммарно за 2 редукции:

z z

Выписать систему уравнений типизации

(λ a . a a) (λ b c . c)

Решение

Сначала надо дать типы всем термам и подтермам, раздавая каждый раз новые буквы новым переменным и термам. А потом связать эти буквы по следующим правилам:

• если у нас абстракция (λ x . M) :: T0, x :: T1, M :: T2, то добавляем в систему T0 = T1 -> T2,
• если имеем аппликацию (M N) :: T0, M :: T1, N :: T2, то добавляем T1 = T2 -> T0
• если у нас переменная в теле абстракции встречается несколько раз и мы раздаём каждый раз ей новые буквы, то надо будет потом приравнять типы в аргументе абстракции и внутри её тела.

Итого:

(λ a . a a) (λ b c . c) :: A

(λ a . a a) :: B, (λ b c . c) :: C

a :: D, (a a) :: E

первая и вторая буквы "a" в E — a :: F, a :: G

Можем сразу расписать часть системы уравнений:

B = C -> A

B = D -> E

F = G -> E

D = F

D = G

Теперь расписываем терм с типом C (раскрыв сокращения для начала): (λ b . (λ c . c)) :: С

b :: H, (λ c . c) :: I

c :: J, c :: K

И добавляем уравнения:

C = H -> I

I = J -> K

J = K

Кодирование по Чёрчу

Выписать кайнды конструкторов типов, выписать типы конструкторов, закодировать по Чёрчу:

data Policeman a = Doctor a | Mice
data Tree a b c = Frog c | Pip (Tree a b c)

Этого задания не было в первой кр, поэтому оно будет расписано во второй. Вместо него была система уравнений типов чуть более адовая, чем в прошлом примере.

Кр2

Фотки

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5]
• [6]
• [7]
• [8]
• [9]
• [10]
• [11]
• [12]
• [13]

Разбор будет по фоткам 3, 4, 5 (остальные задания аналогичны):

N1. Порядок редуцирования

См. прошлую кр

E0. Определить примитивные конструкции

pair = \ x y p . p x y
fst  = \ r . r (\ x y . x)
snd  = \ r . r (\ x y . y)
fix  = \ f . (\ x . f (x x)) (\ x . f (x x))

Легко проверить, что fst (pair a b) = a, подставив и сделав редукции.

E1. Превратить let-биндинги в один большой лямбда-терм.

Конструкция

let x = z in y

превращается в

(\x . y) z

А пример просто превратится в

(\foo. [main]) [foo]

где [foo] — тело foo, [main] — тело main.

E2. let-биндинги, но с возможной взаимной рекурсией

foo = foo ((\ a . bar) foo)

bar = (\ a . y) y (\ b . y)

main = (\ a . foo (a z) (y y)) y

Решение

Осторожно! Магия

Расписывать формальный алгоритм довольно нудно и неприятно, поэтому здесь объяснение того, что происходит, а на примере должно быть понятно.

Сначала по каждому терму из условия надо составить терм с таким же именем, только штрихованный. В нём мы будем использовать первые буквы остальных термов. Фиксируем порядок аргументов, например для foo' это будет f b m. Тогда у всех остальных термов будет циклический порядок. То есть для bar' будет b m f, а для main' — m f b.

Теперь пишем foo'. Сначала используем fix. Потом абстракцию, аргументами которой является нужный набор из циклических перестановок (см. соответствие выше), а телом абстракции является тело foo с изменениями. Если встречается имя терма из задания, то надо его заменить на нужный циклический порядок. И если имена первых букв по каким-то причинам не подходят (коллизятся со связанными переменными), то надо более удачные имена этим переменным придумать.

Итого, после преобразований:

foo'  = fix (\ f b m . f b m ((\ a . b m f) (f b m)))
bar'  = fix (\ b m f . (\ a . y) y (\ b . y))
main' = fix (\ m f b . (\ a . f b m (a z) (y y)) y)

Результирующий терм выглядит как вызов штрихованной функции в нужной циклической перестановке:

main = main' foo' bar'

Но так как в этом задании дополнительные термы использовать нельзя, то main', foo', bar' надо проинлайнить в main.

N2. Раскрыть, как в E1 и нормализовать

В общем, в задании всё сказано. Надо превратить в один большой терм как в E1, а затем нормализовать, как в задании из первой кр.

S1. Расписать систему уравнений типов

Как в первой кр.

TP1. Убрать сокращения и расставить скобки

Именно это и требуется сделать. Разве что там вместо тела абстракции расписан её тип. А (->) в типе в отличие от аппликации правоассоциативна, то есть в

a -> b -> c

скобки ставятся следующим образом:

a -> (b -> c)

Итого:

• дано: (\ a b . b -> b -> a) x
• получается: (\ a . (\ b . b -> (b -> a))) x // вроде бы тут как раз весь тип внутри не надо заключать в скобки

TF1. Составить терм по типу

Тут надо пользоваться логикой. Вроде бы во всех примерах можно решить методом пристального взгляда. Мотивация: чтобы решение системы уравнений типов совпадало с полученным типом. Но в некоторых случаях довольно трудно (или даже невозможно) придумать терм по типу, например здесь не придумывается:

(a -> b) -> b -> a

Решение

Дано: forall a b c . (b -> c -> a) -> (c -> b) -> c -> a

Ответ: \f g c . f (g c) c

A1. Закодировать типы по Чёрчу (без взаимной рекурсии)

 data Doctor a = Minute a | Maybe a a a
 data Hour a b = Hour (Hour b b) (Doctor a) (Doctor b) | Roll b (Doctor a)

Решение

У каждого типа есть [math] N \geqslant 1[/math] конструктов, а у каждого конструктора есть [math] K \geqslant 0 [/math] аргументов.

Фиксируем тип с [math] N [/math] конструкторами. Каждый конструктор [math] C_i [/math] этого типа превращается в абстракцию, в которой сначала идут [math] K_i [/math] переменных — аргументы конструктора, а потом [math] N [/math] переменных, отвечающих конструкторам. В теле просто выбирается нужный конструктор и применяется ко всем аргументам.

caseTypeName тоже является абстракцией, которая принимает сначала одну переменную, которая "выбирает" нужный конструктор, затем набор переменных в количестве числа конструкторов. В теле просто применяется первая переменная ко всем остальным.

 -- сначала Doctor 
 Minute = \ a . \ x y . x a
 Maybe  = \ a b c . \ x y . y a b c
 caseDoctor = \ p . \ x y . p x y
 -- теперь Hour 
 Hour = \ a b c . \ x y . x a b c
 Roll = \ a b . \ x y . y a b
 caseHour = \ p . \ x y . p x y

Интересное наблюдение: переменная p в case является как раз нужным конструктором, в котором уже подставлены все аргументы этого конструктора.

A2. Закодировать типы через [math] \mu [/math] - комбинатор

data Return a b = List (Return b a) (Return b a) b | Roll (Return a a) (Return a a) (Mice a)
data Mice a = Bucket (Mice a) (Return a a) | Haystack (Mice a) a

Решение

Магия как в E2!

Опять делаем соотвествие между TypeName и TypeName'. Чтобы написать TypeName', необходимо преобразовать объявление дататипов по следующим правилам:

• сначала идёт mu (это как fix, только для типов),
• потом какая-нибудь уникальная буква для типа (например x для Return и y для Mice),
• после точки абстракция, которая сначала принимает в качестве аргумента другую уникальную букву, а затем аргументами параметры типа,
• T1 | T2 заменяется на T1 + T2,
• T1 T2 заменяется на T1 [math] \times [/math] T2,
• параметры типа оставляем как есть,
• если в конструкторе идёт наш тип, то пишем нашу уникальную букву, а затем уникальную букву другого типа, а если другой типа — наоборот; после чего параметры конструктора,
• если тип не наш и не буковка параметр датайпа, и не принимает параметров (например Nothing), то пишем 1 вместо неё.

Return' = mu x . \ y . \ a b . (x y b a) [math] \times [/math] (x y b a) [math] \times [/math] b + (x y a a) [math] \times [/math] (x y a a) [math] \times [/math] (y x a)
Mice'   = mu y . \ x . \ a . (y x a) [math] \times [/math] (x y a a) + (y x a) [math] \times [/math] a

После этого пишем ответ:

Return = Return' Mice'
Mice   = Mice' Return'

H1. Написать Haskell-код какой-нибудь структуру данных

• АВЛ-дерево: ссылка на pastebin

  почему я не знал Haskell, когда это дерево было в лабе по дискретке на первом курсе? ;( просто списывается с конспекта один в один...

• Квадродерево: ссылка на pastebin

  не совсем то, что требует Ян, но я пока не распарсил то, что он требует; возможно, более правильная версия появится позже

Кр3

ITMOPrelude

1. gromakovsky
   • Primitive.hs
   • List.hs
2. yakupov
   • Primitive.hs
   • List.hs
3. itanf
   • Primitive.hs
   • List.hs

Primitive

Nat

data Nat
(+.)
(-.)
(*.)

divides :: Nat -> Nat -> Bool

Rat

data Rat
(%+)
(%-)
(%*)
(%/)

euler :: ?

List

Угадайка

Дают тип, надо написать название функции из List.hs и реализовать её.

Комбинаторика

Тут можно использовать только набор заранее определённых функций листа( среди которых нет даже ++ )

subsequences :: [a] -> [ [ a ] ]

permutations :: [a] -> [ [ a ] ]

Algebra

class Monoid a where
	mempty :: a
	mappend :: a -> a -> a

class Monoid a => Group a where
	ginv :: a -> a

mconcat :: (Monoid a) => List a -> a
mconcat = foldr mappend mempty

instance Monoid Unit where
	mempty	  = Unit
	mappend _ _ = Unit

instance Group Unit where
	ginv _ = Unit

instance (Monoid a, Monoid b) => Monoid (Pair a b) where
	mempty	  = Pair mempty mempty
	mappend a b = Pair {fst = fst a `mappend` fst b,
						snd = snd b `mappend` snd b}

instance (Monoid a) => Monoid (Maybe a) where
	mempty					= Just mempty
	mappend (Just a) (Just b) = Just $ mappend a b
	mappend _ _			   = Nothing

newtype First a = First { getFirst :: Maybe a}

instance Monoid (First a) where
	mempty					= First Nothing
	mappend (First Nothing) x = x
	mappend x _			   = x

newtype Last a = Last { getLast :: Maybe a}

instance Monoid (Last a) where
	mempty				   = Last Nothing
	mappend x (Last Nothing) = x
	mappend _ x			  = x

newtype Any = Any { getAny :: Bool }

instance Monoid Any where
	mempty				  = Any False
	mappend (Any a) (Any b) = Any $ a || b

newtype All = All { getAll :: Bool }

instance Monoid All where
	mempty				  = All True
	mappend (All a) (All b) = All $ a && b

-- Лексикографическое сравнение
instance Monoid Tri where
	mempty	   = EQ
	mappend LT _ = LT
	mappend EQ a = a
	mappend GT _ = GT

newtype Sum a = Sum { getSum :: a }

instance Monoid (Sum Nat) where
	mempty				  = Sum natZero
	mappend (Sum a) (Sum b) = Sum $ a +. b

newtype Product a = Product { getProduct :: a }

instance Monoid (Product Nat) where
	mempty						  = Product natOne
	mappend (Product a) (Product b) = Product $ a *. b

instance Monoid (Sum Int) where
	mempty				  = Sum intZero
	mappend (Sum a) (Sum b) = Sum $ a .+. b

instance Group (Sum Int) where
	ginv = Sum . intNeg . getSum

instance Monoid (Product Int) where
	mempty						  = Product intOne
	mappend (Product a) (Product b) = Product $ a .*. b

instance Monoid (Sum Rat) where
	mempty				  = Sum ratZero
	mappend (Sum a) (Sum b) = Sum $ a %+ b

instance Group (Sum Rat) where
	ginv = Sum . ratNeg . getSum

instance Monoid (Product Rat) where
	mempty						  = Product ratOne
	mappend (Product a) (Product b) = Product $ a %* b

instance Group (Product Rat) where
	ginv = Product . ratInv . getProduct

instance Monoid (List a) where
	mempty = Nil
	mappend = (++)

Categories

class Category cat where
	id  :: cat a a
	(.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

class Functor f where
	fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

class Monad m where
	(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
	return :: a -> m a

class (Functor f) => Applicative f where
	pure :: a -> f a
	(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

class Functor m => MonadJoin m where
	returnJoin :: a -> m a
	join :: m (m a) -> m a

data Identity a = Identity a
runIdentity a = a

instance Monad Identity where
	return x = Identity x	
	(Identity x) >>= f = f x

data Maybe a = Just a | Nothing

instance Monad Maybe where
	Nothing  >>= f  =  Nothing
	(Just x) >>= f  =  f x
	return x = Just x

instance Monad [] where
  m >>= f  = concat (map f m)
  return x = [x]

class MonadFish m where
	returnFish :: a -> m a
	(>=>) :: (a -> m b) -> (b -> m c) -> (a -> m c)

data State s r = State (s -> (r, s))

runState (State f) s = f s

instance Monad (State s) where	
	return r = State (\s -> (r, s))		
	(State x) >>= f = State h
		where
		h s0 =
			let
				(r1, s1) = x s0
				State g = f r1
				(r2, s2) = g s1
			in
				(r2, s2)

newtype IdentityCPS a = IdentityCPS {runIdentityCPS :: forall r . (a -> r) -> r}

caseIdentityCPS :: IdentityCPS a -> (a -> r) -> r
caseIdentityCPS = \x -> \f -> runIdentityCPS x f

constrIdentityCPS :: a -> IdentityCPS a
constrIdentityCPS = \a -> IdentityCPS $ \f -> f a

instance Functor IdentityCPS where
	fmap f ma = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (\a -> g (f a))

instance Applicative IdentityCPS where
	pure = constrIdentityCPS
	mf <*> ma = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (\a -> caseIdentityCPS mf (\f -> g (f a )))

instance Monad IdentityCPS where
	return = constrIdentityCPS
	ma >>= f = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (\a -> runIdentityCPS (f a) g)

newtype MaybeCPS r a = MaybeCPS {runMaybeCPS :: (a -> r) -> r -> r}

caseMaybeCPS :: MaybeCPS r a -> (a -> r) -> r -> r
caseMaybeCPS = \x -> \f -> \g -> runMaybeCPS x f g

justCPS :: a -> MaybeCPS r a
justCPS a = MaybeCPS $ \f -> \g -> f a
nothing :: MaybeCPS r a
nothing = MaybeCPS $ \f -> \g -> g

instance Functor (MaybeCPS r) where
	fmap f ma = MaybeCPS $ \g -> \h -> caseMaybeCPS ma (\a -> g (f a)) h

instance Applicative (MaybeCPS r) where
	pure = justCPS
	mf <*> ma = MaybeCPS $ \g -> \h -> caseMaybeCPS ma (\a -> caseMaybeCPS mf (\f -> g $ f a) h) h

instance Monad (MaybeCPS r) where
	return = justCPS
	ma >>= f = MaybeCPS $ \g -> \h -> caseMaybeCPS ma (\a -> runMaybeCPS (f a) g h) h

newtype StateCPS s a = StateCPS {runStateCPS :: forall r . s -> (s -> a -> r) -> r}

caseStateCPS :: (StateCPS s a) -> ((s -> (s, a)) -> r) -> r
caseStateCPS = \x -> \f -> f $ \s -> runStateCPS x s (\s -> \a -> (s, a))

state' :: (s -> (s, a)) -> StateCPS s a
state' st = StateCPS $ \s -> \f -> let (s', a) = st s in f s' a

instance Functor (StateCPS s) where
	fmap f sa = StateCPS $ \s -> \g -> caseStateCPS sa (\st -> let (s', a) = st s in g s' (f a))

instance Applicative (StateCPS s) where
	pure a = state' $ \s -> (s, a)
	sf <*> sa = StateCPS $ \s -> \g -> caseStateCPS sf (\stf -> let (s', f) = stf s in caseStateCPS sa (\sta -> let (s, a) = sta s' in g s (f a)))

instance Monad (StateCPS s) where
	return a = state' $ \s -> (s, a)
	sa >>= f = StateCPS $ \s -> \g -> caseStateCPS sa (\sta -> let (s', a) = sta s in runStateCPS (f a) s' g)