Ранговая функция, полумодулярность

Определение:

Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math]. Ранговая функция (rank function) [math]r: 2^X \to Z_+[/math] определяется как: [math]r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}[/math]

Полумодулярность ранговой функции

Докажем свойство полумодулярности (submodularity) ранговой функции: [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \le r(A) + r(B)[/math]. Для начала небольшая лемма.

Лемма:

Дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math] и множество [math]A \subset X[/math]. Пусть также [math]B \subset A[/math], [math]B \in I[/math], тогда существует [math]D : B\subset D \subset A, D \in I, |D| = r(A)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]E[/math] — подмножество [math]A[/math] такое, что [math]r(A) = |E|, E \in I[/math] (по определению ранговой функции такое [math]E[/math] всегда существует). Предположим, что лемма неверна и максимальное независимое подмножество, которое мы можем получить из [math]B[/math] добавляя элементы из [math]A[/math] — это [math]C[/math], причем [math]|C| \lt r(A)[/math]. Тогда имеем: [math]C \in I, E \in I, |C| \lt |E|[/math], следовательно существует элемент [math]x \in E \setminus C: C \cup \{x\} \in I[/math]. Заметим также что [math]|C \cup {x}| = |C| + 1 \gt |C|[/math] и [math]x \in A[/math], т.к. [math]E \setminus C \subset A[/math], [math]B \subset C \cup \{x\}[/math]. Итак пришли к противоречию, мы получили множество большее по мощности, чем [math]C[/math] такое, что [math]B \subset C \subset A, C \in I[/math], значит исходное предположение было не верно, и мы можем найти множество [math]D[/math] удовлетворяющее необходимым условиям.

[math]\triangleleft[/math]

Итак теперь мы готовы доказать свойство полумодулярности ранговой функции.

Теорема:

Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math], тогда [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \le r(A) + r(B)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множество [math]D_\cap \subset A \cap B : D_\cap \in I, |D_\cap| = r(A \cap B)[/math], такое всегда существует по определению [math]r[/math]. Дополним множество [math]D_\cap[/math] элементами из [math]B \setminus D_\cap[/math] до множества [math]D_B : |D_B| = r (B), D_B \in I[/math] (по лемме такое возможно). Далее дополним [math]D_B[/math] элементами из [math]A \cup B \setminus D_B[/math] до множества [math]D_\cup : |D_\cup| = r(A \cup B), D_\cup \in I[/math]. Заметим, что на последнем шаге будут добавляться только элемента из [math]A[/math], т.к. пусть на том этапе мы взяли [math]x \in B[/math], тогда [math]\{x\} \cup D_B \subset D_\cup, D_\cup \in I [/math], следовательно [math]\{x\} \cup D_B \in I[/math] (по Определение матроида), а также[math]|\{x\} \cup D_B| = |D_B| + 1 = r(B) + 1[/math], что невозможно по определению [math]r[/math]. Заметим также, что [math](D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \subset A[/math], [math](D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \in I[/math] (по Определение матроида), значит (по определению ранговой функции) [math]r(A) \ge |(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap| = |D_\cup| - |D_B| + |D_\cap|[/math] Заменяя мощности на ранги: [math]r(A) + r(B) \ge r(A \cup B) + r(A \cap B) [/math] Что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о рангах

Теорема:

Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math], и [math]r: 2^X \to \{0\} \cup \mathbb{N}[/math] — его ранговая функция. Тогда для любых [math]A, B \subseteq 2^X[/math] выполняется следующее: [math] 0 \leqslant r(A) \leqslant |A| [/math] [math] A \subseteq B \Rightarrow r(A) \leqslant r(B) [/math] Неравенство полумодулярности: [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \leqslant r(A) + r(B)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно из определения: максимальное независимое подмножество по мощности не может быть больше самого множества и меньше нуля. Пусть [math]C \subseteq A[/math] — максимальное независимое подмножество. Т.к. [math]A \subseteq B[/math], то [math]C \subseteq B[/math] — независимое подмножество. Поэтому [math]r(B) \geqslant |C|[/math] по определению, а значит [math]r(B) \geqslant r(A)[/math] Доказано выше.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Теорема о циклах
• Теорема о базах

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
  
• Will Johnson — Mathroids. June 3, 2009.