Вещественные числа

Лекция от 13 сентября 2010.

[math] \mathbb N [/math] - натуральные числа = {1, 2, 3, ...} Определяются следующим образом:

За числом n в натуральном ряде непосредственно следует n + 1, между n и n + 1 других [math] k \in \mathbb N [/math] нет.

Гильберт: натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.

[math] \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} [/math] - множество целых чисел.

[math] \mathbb N \subset \mathbb Z [/math]

[math] \mathbb Q [/math] - рациональные числа: [math] \mathbb Q = \{\frac mn ; m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}; [/math]

Множество [math] \mathbb Q [/math] упорядочено.

Всегда выполняется только один из трех случаев: [math] r \lt q, r = q, r \gt q [/math]

Определение:

[math] |x| = \begin{cases} x, & x \gt 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases} [/math] - модуль или абсолютная величина числа x

Свойства:

[math] 1) |ab| = |a||b|; \\ 2) |x + y| \le |x| + |y|; \\ 3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r; [/math]

В [math] \mathbb Q [/math] выполняется аксиома Архимеда:

[math] 0 \lt r \lt q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\ \exists n \in \mathbb N : q \lt n*r [/math]

Пусть A, B - два числовых множества.

Определение:

Запись A < B означает, что [math] \forall a \in A, b \in B \Rightarrow a \lt b [/math]

Аналогично определяются записи типа [math] A \le B [/math], ...

Если [math] B = \{b\}: A \lt B \Leftrightarrow A \lt b [/math]

Утверждение:

Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что A = {рациональные положительные r: r^2 < 2}; B = {рациональные положительные r: r^2 > 2}; Тогда [math] \exists d \in \mathbb Q : A \le d \le B [/math]

[math]\triangleright[/math]

Допустим, что существует [math] d \in \mathbb Q [/math] [math] d^2 \lt 2, d^2 = 2, d^2 \gt 2[/math] [math] d^2=2[/math] - невозможно, доказывается через несократимость дроби [math] d = \frac mn: [/math] [math] m^2 = 2n^2, [/math]2 - простое, значит m делится без остатка на 2n [math] m = 2p, 4p^2 = 2n^2, n^2=2p^2; n\, \vdots \, 2[/math], противоречие. 2 случая: либо [math] d^2 \lt 2 [/math], либо [math] d^2 \gt 2 [/math]. 1) Для всех рациональных [math] \delta \in (0; 1): [/math] [math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 [/math] [math] \delta^2 \lt \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 \lt d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta [/math] [math] d^2 + (2d+1)\delta \lt 2 \Leftrightarrow \delta \lt \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 \lt 2, 2 - d^2 \gt 0 [/math] [math] \delta_0 \in \mathbb Q = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) [/math]; Для такого [math] \delta_0: (d + \delta_0)^2 \lt 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A [/math] [math] A \le d. d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 [/math], противоречие. Для случая [math] d^2 \gt 2 [/math] доказывается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в [math] \mathbb Q [/math]. Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:

1. 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
2. Сохранение упорядоченности.
3. Выполнение аксиомы непрерывности:

Пусть А и В - 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math], то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

Получается множество, называемое множеством вещественных чисел - [math] \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R [/math]

Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.

Для анализа важно то, что для [math] \mathbb R [/math] выполняется аксиома непрерывности.

Несколько моделей [math] \mathbb R [/math] :

1. Модель Дедекинда
2. Модель Вейерштрасса
3. Модель Кантора

Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что [math] \mathbb Q [/math] всюду плотно на [math] \mathbb R [/math]:

В любом вещественном интервале [math] (a, b) : (x: a \lt x \lt b) [/math] найдется рациональное число.

Для нас этот важен тем, что он гарантирует единственность пополнения [math] \mathbb Q [/math] для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение приводит к множествам, изоморфным друг другу.