1302
правки
Изменения
→Пример 2
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> {{- --}} бесконечно малые.
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n \cdot \beta_n) </tex> {{- --}} также бесконечно малые.
|proof=
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
<tex> |\alpha_n \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </tex> {{- --}} для всех n, начиная с N.
}}
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> {{- --}} ограниченная, то <tex> \alpha_n \cdot a_n </tex> {{--- }} также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную {{--- }} также бесконечно малая''.
{{Утверждение
Тогда <tex> a_n \cdot b_n = (a + \alpha_n) \cdot (b + \beta_n) = a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n </tex>
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную {{- --}} также бесконечно малые величины:
<tex> \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow a \cdot b </tex>
}}
