Матрица преобразования

Базовые преобразования

Параллельный перенос

Задаёт преобразование [math] x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b [/math].

Обозначается [math] T_{\overrightarrow v} [/math], где [math] \overrightarrow v = (a, b) [/math] — вектор параллельного переноса.

[math] T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Пример Задача: Найдите новые координаты точки [math] (6, 9) [/math] после параллельного переноса плоскости на вектор [math] \overrightarrow v = (1, 2) [/math].

Решение: [math] T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} 6\\ 9\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 6\\ 9\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 6 + 1\\ 9 + 2\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 7\\ 11\\ 1 \end{array}\right) [/math]

Вполне ожидаемый ответ.

Поворот относительно начала координат

Обозначается [math] R^\alpha [/math], где [math] \alpha [/math] — угол поворота. Как обычно, [math] \alpha \gt 0 [/math] при повороте против часовой стрелки, и [math] \alpha \lt 0 [/math] при повороте по часовой стрелке.

[math] R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Пример Задача: Найдите новые координаты точки [math] (5, 1) [/math] после поворота плоскости на [math] 90 [/math] °.

Решение: [math] R^{90} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

[math] R^{90} (\left(\begin{array}{cc} 5\\ 1\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math]\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{cc} 5\\ 1\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{cc} -1\\ 5\\ 1 \end{array}\right) [/math]