Определение интеграла Римана, простейшие свойства

Пусть есть отрезок [math]\left [ a,b \right ][/math] и некоторое [math]\tau:a=x_0\lt x_1\lt ...\lt x_n=b[/math] ([math]\tau[/math] называется разбиением [math]\left [ a,b \right ][/math]). [math]\Delta_k=x_{k+1}-x_k[/math] называется длиной текущего отрезка разбиения.

[math]rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}[/math]
[math]\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ][/math], [math]~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}[/math]
[math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math] называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].
[math]I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon \gt 0~\exists \delta \gt 0: rang~ \tau\lt \delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | \lt \epsilon\forall\left \{ \overline{x_k} \right \}[/math]