Изменения

== Читателям =='''Эта статья каг бе говорит тебе: пойми меня и исправь всё неправильное, а так же добавь понятности и викифицируй меня'''.  (Дополнительно) Объясни меня тому, кто всё это написал (Дополнительно) Допиши меня == Нанопример == В простейших случаях легко убедиться в существовании определённого интеграла. Например, для <tex>f(x) = m</tex>: <tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^n - 1 m\Delta x_k = m(b - a)</tex> Значит, <tex>\int\limits_a^b m dx = m(b - a)</tex> == Функция Дирихле ==  Рассмотрим функцию Дирихле: <tex>d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned}\right.</tex> Тогда можно составить две различных системы точек:* <tex>X_Q = \{a | a \in \mathbb{Q} \}</tex>* <tex>X_R = \{a | a \notin \mathbb{Q} \}</tex> В одном случае получаем, что <tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 0</tex>, а в другом {{---}} <tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 1</tex>. Но он, по определению, не должен зависеть от выбранного набора точек. Значит, функция Дирихле {{---}} не интегрируема. == Суммы Дарбу == Возникает вполне логичный вопрос: <<Какова должна быть функция <tex>f</tex>, чтобы быть интегрируемой?>>.Напишем ответ на классическом языке(Дарбу). В силу того, что ограниченность функции необходима для интегрируемости, далее это не оговаривается. Пусть задана ограниченная функция <tex>f \colon [a; b] \to \mathbb{R}</tex> и задан набор точек<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> Определим <tex>m_k(f) = m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><tex>M_k(f) = M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><tex>\underline{s} (f, \tau) = \underline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m_k \Delta x_k</tex> {{---}} нижняя сумма Дарбу<tex>\overline{s} (f, \tau) = \overline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} M_k \Delta x_k</tex> {{---}} верхняя сумма Дарбу Тогда, очевидно, <tex>\underline{s}(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>. {{Определение|definition=Если <tex>\tau_1 \subset \tau_2</tex>, то говорят, что <tex>\tau_2</tex> мельче, чем <tex>\tau_1</tex>, или же <tex>\tau_2 \leq \tau_1</tex>}} {{Утверждение|statement=Сумма Дарбу обладает следующими свойствами:# <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex># <tex>\tau_1 \subset \tau_2 \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\ \overline{s}(\tau_1) & \geq & \overline{s}{\tau_2} \\\end{aligned}\right.</tex># <tex>\forall \tau_1, \tau_2 \ \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>|proof=Первое свойство очевидно(из определения сумм Дарбу). Докажем второе свойство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда в <tex>\tau_1</tex> добавлена только одна точка. <tex>a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_1</tex> <tex>a = x_0 < x'_0 < x_1 < \ldots x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_2</tex> Докажем неравенство для нижних сумм. Обозначим <tex>m_0</tex>, <tex>m'_0</tex> и <tex>m''_0</tex> <tex>m_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x_1]} f(x)</tex>, <tex>m'_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x'_0]} f(x)</tex>, <tex>m''_0 = \inf\limits_{x \in [x'_0; x_1]} f(x)</tex>. Тогда, очевидно, <tex>m_0 \leq m'_0, m''_0</tex> <tex>m_0(x_1 - x_0) = m_0(x'_0 - x_0) + m_0(x_1 - x'_0) \leq m'_0(x'_0 - x_0) + m''_0(x_1 - x'_0)</tex> Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено. Пункт 3. Положим <tex>\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2</tex>. Значит, в силу пунктов 1 и 2, получим: <tex>\underline{s}(\tau_1) \leq \underline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>}} == Критерий интегрируемости == Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \leq 0</tex> <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to 0 \Rightarrow</tex><tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau < \varepsilon)</tex> Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,<tex>\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)</tex> <tex>I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)</tex> {{Теорема|about=Критерий интегрируемости|statement=<tex>f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>|proof=1. <tex>f \in \mathcal{R}(a; b)</tex> <tex>\exists I = \lim \sigma(\tau)</tex> <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta \leq 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon</tex> Это верно для любой системы промежуточных точек.  В интегральной сумме <tex>\Delta x_k > 0</tex>. Отсюда следует, что если варьировать промежуточные точки,и по ним перейти к <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex>, то <tex>\inf = \underline{s}</tex>, <tex>\sup = \overline{s}</tex>. Так как написанное неравенство выполняется для любой системы точек, то в силу определения граней, мы можем получить, что <tex>I - \varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow</tex><tex>\omega(f, \tau) \leq 2\varepsilon</tex> <tex>\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex> 2. <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex> Воспользуемся неравенствами, написанными перед теоремой вместе с числами <tex>\overline{I}</tex> и <tex>\underline{I}</tex>.(что хотели сказать фразой <<вместе с числами \_I и \^I>>?)  <tex>0 \leq \overline{I} - \underline{I} \leq \omega(f, \tau)</tex> Но, так как <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>, то <tex>\overline{I} = \underline{I} = I</tex> <tex>\underline{s}(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex> <tex>|\sigma(\tau) - I| \leq \omega(f, \tau) \to 0</tex> Тогда, по принципу сжатой переменной, <tex>I = \sigma(\tau)</tex> Значит, искомый интеграл <tex>\int\limits_a^b f(x) = I</tex> существует.}} == Функция Римана ==  Приведём важный пример применения этой теоремы. Вернёмся к функции Дирихле.  <tex>d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned}\right.</tex> Эта функция не интегрируема. Плохая она в том смысле, что она разрывна в каждой точке. Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много,но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюдуплотным, и её графиквсё ещё будет не нарисовать. <tex>r(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb{Q}, x = \frac{m}{n}\\ \end{aligned}\right.</tex>  {{Утверждение|statement= <tex>\int\limits_0^1 r(x) = 1</tex>|proof=Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёдзаданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место)иррациональной точке разрывна, а в каждой рациональной {{---}} непрерывна (/мутное место).Покажем, что существует <tex>\int\limits_0^1 r(x)</tex>. Для этого выпишем <tex>\omega</tex>. <tex>\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x</tex>. Нужно показать, что (пшшшшшшшшшшшш) Если мы докажем, что эта функция интеграруема, то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от <tex>\tau</tex>. Это позволяет выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы предел сумм считался легко.Будем составлять интегральные суммы, выбирая в качестве промежуточных точек иррациональные числа.Тогда соответствующая интегральная сумма окажется равной <tex>\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x_{k + 1} - x_k = 1</tex> Поэтому, вся трудность заключается в доказательстве существования интеграла. Обычно существование интеграла через <tex>\omega</tex> доказывается следующим образом: интересующая сумма разбивается на две, таким образом, чтобы в первой сумме <tex>M_k - m_k</tex> было мало,но <tex>\sum \Delta x_k \approx b - a</tex>. Во второй сумме надо, чтобы <tex>\sum \Delta x</tex> было достаточно малым(эти <tex>\Delta x</tex> {{---}} плохие). Тогда сумма обеих сумм окажется малой, и задача будет решена.  Пусть <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>\exists N_\varepsilon:\ \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex> <tex>[x_k; x_{k + 1}],\ M_k = 1</tex>(так как на отрезке есть иррациональные числа). Разберёмся с <tex>m_k</tex>. Его поиск связан с перебором чисел вида <tex>1 - \frac1n</tex> и поиском минимума из них, при этом, <tex>\frac{m}{n} \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>. <tex>m_k = \frac1{P_k}</tex>, где <tex>P_k</tex> {{---}} наибольшее из тех знаменателей, для которых соответствующая рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>. В отрезке <tex>[0; 1]</tex> дробей со знаменателем <tex>N_\varepsilon</tex> конечное число. Тогда отсюда ясно, что если рассмотреть <tex>\tau</tex> достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся несократимые дроби <tex>\frac{m}{N_\varepsilon}</tex> будет достаточно малым и при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу формулы <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>, <tex>P_k \leq N_\varepsilon</tex>, <tex>M_k - m_k < \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex>.  Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы. Оценим сверху <tex>I</tex>: <tex>\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon \operatorname{rang} \tau</tex>. Тогда при <tex>\delta = \frac\varepsilon{N_\varepsilon}</tex>: <tex>\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon</tex> <tex>\forall\varepsilon</tex> мы нашли <tex>\delta</tex> такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau \delta \Rightarrow \omega(r, \tau) \leq 2\varepsilon</tex> }}  Для того, чтобы с помощью этой теоремы можно было строить так называемые классы интегрируемых функций и получать дополнительные свойства интегралов, определим понятие <<колебание функции>>на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство. == Колебания О_о ==  {{Определение|definition=Пусть <tex>f</tex> определена на <tex>[c; d]</tex> и ограничена на нём. Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке <tex>[c;d]</tex> назовём <tex>\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x', x'' \in [c; d]} |f(x'') - f(x')|</tex>}} == Продолжение следует! == УТВтрололо [[Категория:Математический анализ 1 курс]]