Примитивно рекурсивные функции

<< >>

Рекурсивные функции

Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:

1. [math]\mathrm{Z}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{Z}(x) = 0[/math]
2. [math]\mathrm{N}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{N}(x) = x'[/math]
3. Проекция. [math]\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i[/math]
4. Подстановка. Если [math]\mathrm{f}: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math] и [math]\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathrm{N^m} \rightarrow \mathrm{N}[/math], то [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathrm{N^m} \rightarrow \mathrm{N}[/math]. При этом [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))[/math]
5. Примитивная рекурсия. Если [math]\mathrm{f}: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math] и [math]\mathrm{g}: \mathrm{N^{n+2}} \rightarrow \mathrm{N}[/math], то [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}[/math], при этом [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y \gt 0 \end{array}\right.[/math]
6. Минимизация. Если [math]\mathrm{f}: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}[/math], то [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math], при этом [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)[/math] — такое минимальное число [math]y[/math], что [math]\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0[/math]. Если такого [math]y[/math] нет, результат данного примитива неопределен.

Если некоторая функция [math]\mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math] может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.

Примитивно рекурсивные функции

Основные определения

Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

Подстановка

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] \mathrm{f}(x_1,\ldots,x_k) [/math] и [math] k [/math] [math]n [/math]-местных функций [math] \mathrm{g_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n) [/math]. Тогда после преобразования у нас появится [math] n [/math]-местная функция [math]\mathrm{F} [/math], такая что: [math] \mathrm{F} = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \mathrm{g_k}(x_1,\ldots,x_n)) [/math].

Рекурсия

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] \mathrm{f} [/math] и [math] (k + 2) [/math]-местную функцию [math] \mathrm{h} [/math]. Тогда после преобразования у нас будет [math] (k+1) [/math]-местная функция [math] \mathrm{g} [/math], которая определена следующим образом:

[math]\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm{f}(x_1,\ldots,x_n)[/math]

[math]\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,y+1)=\mathrm{h}(x_1,\ldots,x_n,y,\mathrm{g}(x_1,\ldots, x_n,y))[/math]

При этом будем говорить, что рекурсия запускается по аргументу [math] y [/math].

Определение:

Примитивно рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции [math] \textbf 0 [/math], функции [math] \mathrm{I}(x) = x + 1, [/math] и набора функций [math] \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,[/math] где [math] k \le n [/math].

Заметим, что если [math] \mathrm{f} [/math] — [math]n[/math]-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве [math] \mathbb{N}^{n} [/math], так как [math] \mathrm{f} [/math] получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

• В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка [math] \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) [/math] эквивалентна [math] \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{P_{2,2}}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,2}}(x,y))) [/math], но если [math] \mathrm{F} [/math] не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
• В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.

В дальнейшем вместо [math] \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_k) [/math] будем писать просто [math] x_k [/math], подразумевая требуемое нам [math] n [/math].

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n -местный ноль

[math] \textbf 0 [/math] - функция нуля аргументов.

Выразим сначала [math] \textbf 0^1 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(y+1) = \mathrm{h}(y,\textbf 0^{1}(y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y) = y [/math]

Теперь выразим [math] \textbf 0^n [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = \mathrm{h}(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x_1,\ldots, x_n,y) = y [/math]

Константа [math] \textbf M [/math] равна [math] \mathrm{I}(\textbf{M-1}) [/math]

[math] \textbf M^n [/math] - n местная константа, получается аналогичным к [math] \textbf 0^n [/math] образом.

Сложения

[math] \mathrm{sum}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{sum}(x,y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) [/math]

Умножения

[math] \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1(x) [/math]

[math] \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{prod}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) [/math]

Вычитания

Если [math] x \lt y [/math], то [math] \mathrm{sub}(x,y) = 0 [/math] , иначе [math] \mathrm{sub}(x,y) = x - y [/math].

Рассмотрим сначала вычитания единицы [math] \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(0) = \textbf 0 [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y) = x [/math]

Теперь рассмотрим [math] \mathrm{sub}(x,y) [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{sub}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) [/math]

Операции сравнения

[math] \mathrm{eq}(x,y) = 1 [/math] если [math] x = y [/math], иначе [math] \mathrm{eq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{le}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \le y [/math], иначе [math] \mathrm{lq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \lt y [/math], иначе [math] \mathrm{lower}(x,y) = 0 [/math]

Сначала выразим [math] \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{I}(\textbf 0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) = \textbf 0^2(x,y) [/math]

Теперь все остальные функции

[math] \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) [/math]

[math] \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{I}(x),y)) [/math]

IF

[math] \mathrm{if}(0,x,y) = y [/math]

[math] \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(c,x,y,d) = x [/math]

Деление

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor [/math], если [math] y \gt 0 [/math]. Если же [math] y = 0 [/math], то [math] \mathrm{divide}(x,0) [/math] и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

Сначала определим [math] \mathrm{divmax}(x,y) [/math] — функция равна максимальному числу меньшему или равному [math] x [/math],которое нацело делится на [math] y [/math].

[math] \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{I}(x),z),y),\mathrm{I}(x),z) [/math],

или не формально если [math] x+1 - y = z [/math] то [math] \mathrm{h}(x,y,z) = x+1 [/math], иначе [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z [/math]

Теперь само деления

[math] \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{I}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{I}(x),y))) [/math]

или не формально если [math] x+1~\vdots~y [/math], то [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z+1 [/math], иначе [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z [/math]

Остаток от деления выражается так:

[math] \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) [/math]

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск [math] n [/math] - того простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел [math] [x_1,\ldots,x_n] [/math], тогда ему в соответствия можно поставить число [math] p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} [/math], где [math] p_i - i[/math]-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие [math] i [/math] - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема:

Если для вычислимой функции [math] \mathrm{F} [/math] существует примитивно рекурсивная функция [math] \mathrm{T} [/math], такая что для любых аргументов [math] args [/math] максимальное количество шагов, за которое будет посчитана [math] \mathrm{F}(x) [/math] на МТ равно [math] \mathrm{T}(args) [/math], то [math] \mathrm{F} [/math] примитивно рекурсивная функция.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому состоянию МТ поставим в соответствие список из четырех чисел [math] [L,R,S,C] [/math], где: [math] L [/math] - состояние МТ слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту МТ. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. [math] R [/math] - состояние МТ справа от головки, представлено аналогично [math] L [/math] только возле головки МТ находятся старшие разряды. [math] S [/math] - номер текущего состояния [math] C [/math] - символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция [math] \mathrm{f}([L,R,S,C]) [/math] принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние. Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в [math] C [/math] записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в [math] L [/math] и [math] R [/math] в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в [math] C [/math] записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в [math] S [/math] записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода — примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций [math] \mathrm{if} [/math] следует что и [math] \mathrm{f} [/math] также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их [math]\mathrm{IN} [/math] и [math] \mathrm{OUT} [/math]. Рассмотрим функцию двух аргументов [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) [/math] которая принимает состояние МТ , число шагов [math] t [/math] и возвращает состояние МТ после [math] t [/math] шагов. Покажем что [math]\mathrm{N}[/math] - примитивно рекурсивная функция. [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] [/math] [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) [/math] , где [math] \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) [/math] Вместо [math] t [/math] подставим [math] \mathrm{T}(args) [/math] и в итоге получим что [math] \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) [/math] - примитивно рекурсивная функция.

[math]\triangleleft[/math]

Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике

Введем обозначение. Будем говорить, что [math]\alpha (x_1, \dots x_n)[/math] — это формула с [math]n[/math] свободными переменными, если переменные [math]x_1, ... x_n[/math] входят в [math]\alpha[/math] свободно. Запись [math]\alpha (y_1, \dots y_n)[/math] будем трактовать, как [math]\alpha [x_1 := y_1, ... x_n := y_n][/math], при этом мы подразумеваем, что [math]y_1, \dots y_n[/math] свободны для подстановки вместо [math]x_1, \dots x_n[/math] в [math]\alpha[/math].

Также, запись [math]B(x_1, \dots x_n) := \alpha(x_1, \dots x_n)[/math] будет означать, что мы определяем новую формулу с именем [math]B[/math]. Данная формула должна восприниматься только как сокращение записи, макроподстановка.

Определение:

Арифметическая функция — функция [math]f: N^n \rightarrow N[/math]. Арифметическое отношение — [math]n[/math]-арное отношение, заданное на [math]N[/math].

Определение:

Арифметическое отношение [math]R[/math] называется выразимым (в формальной арифметике), если существует такая формула [math]\alpha (x_1, \dots x_n)[/math] с [math]n[/math] свободными переменными, что для любых натуральных чисел [math]k_1[/math] ... [math]k_n[/math] если [math]R(k_1, \dots k_n)[/math] истинно, то доказуемо [math]\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})[/math] если [math]R(k_1, \dots k_n)[/math] ложно, то доказуемо [math]\neg \alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})[/math].

Например, отношение [math](\lt )[/math] является выразимым в арифметике: Рассмотрим формулу [math]\alpha (a_1, a_2) = \exists b (\neg b = 0 \& a_1 + b = a_2)[/math]. В самом деле, если взять некоторые числа [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math], такие, что [math]k_1 \lt k_2[/math], то найдется такое положительное число [math]b[/math], что [math]k_1 + b = k_2[/math]. Можно показать, что если подставить [math]\overline{k_1}[/math] и [math]\overline{k_2}[/math] в [math]\alpha[/math], то формула будет доказуема.

Наметим доказательство: Тут должно быть два доказательства по индукции, сперва по [math]k_2[/math], потом по [math]k_1[/math]. Рассмотрим доказательство по индукции: пусть [math]k_1 = 0[/math], индукция по 2-му параметру: Разберем доказательство базы при [math]k_2 = 1[/math]. Тогда надо показать [math]\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)[/math]:

(1)	[math]\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1[/math]	Несложно показать
(2)	[math](\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1) \rightarrow \exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)[/math]	Cх. акс. для [math]\exists[/math]
(3)	[math]\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)[/math]	M.P. 1 и 2.

Определение:

Введем следующее сокращение записи: пусть [math]\exists ! y \phi (y)[/math] означает [math]\exists y \phi (y) \& \forall a \forall b (\phi(a) \& \phi(b) \rightarrow a=b)[/math] Здесь [math]a[/math] и [math]b[/math] — некоторые переменные, не входящие в формулу [math]\phi[/math] свободно.

Определение:

Арифметическая функция [math]f[/math] от [math]n[/math] аргументов называется представимой в формальной арифметике, если существует такая формула [math]\alpha (x_1, \dots x_{n+1})[/math] с [math]n+1[/math] свободными пременными, что для любых натуральных чисел [math]k_1[/math] ... [math]k_n[/math] [math]f(k_1, \dots k_n) = k_{n+1}[/math] тогда и только тогда, когда доказуемо [math]\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_{n+1}})[/math]. Доказуемо [math]\exists ! b (\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n}, b)[/math] Комментарии: Функция называется сильно представимой, если в свойстве 2 натуральные числа заменить на переменные: [math]\exists ! b (\alpha (a_1, \dots a_n, b)[/math]

Комментарии:

Очевидно, что сильно представимая функция также является представимой --- с помощью уже встречавшегося ранее трюка с введением квантора всеобщности, а потом с подстановкой конкретного терма вместо переменной мы можем подставить любые константы вместо переменных.

Теорема:

Функции [math]Z[/math], [math]N[/math], [math]U^n_i[/math] являются представимыми.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Наметим доказательство. Для этого приведем формулы, доказательство корректности этих формул оставим в виде упражнения. Примитив [math]Z[/math] представит формула [math]Z (a, b) := (a=a \& b=0)[/math]. Примитив [math]N[/math] представит формула [math]N (a, b) := (a' = b)[/math]. Примитив [math]U^n_i[/math] представит формула [math]U^n_i (a_1, ...a_n, b) = (a_1=a_1) \& ... \& (a_n=a_n) \& (b= a_i)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если функции [math]f[/math] и [math]g_1[/math], ... [math]g_m[/math] представимы, то функция [math]S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle[/math] также представима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Поскольку функции [math]f[/math] и [math]g_i[/math] представимы, то есть формулы [math]F[/math] и [math]G_1, \dots G_m[/math], их представляющие. Тогда следующая формула представит [math]S\langle{}f,g_1,\dots g_m\rangle[/math]: [math]S (a_1, \dots a_n, b) := \exists b_1 \dots \exists b_m (G_1 (a_1, \dots a_n, b_1) \& \dots \& G_m (a_1, \dots a_n, b_m) \& F (b_1, \dots b_m, b))[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Характеристическая функция арифметического отношения [math]R[/math] — это функция [math]C_R (x_1, ... x_n) = \left\{\begin{array}{ll}0 &R (x_1,...x_n)\\1 & R (x_1,...x_n) \textrm{ неверно}\end{array}\right.[/math]

Очевидно, что характеристическая функция представима тогда и только тогда, когда отношение выразимо.

Определение:

[math]\beta[/math]-функция Геделя - это функция [math]\beta (b,c,i) = b \% (1 + c \cdot (i + 1))[/math]. Здесь операция (%) означает взятие остатка от целочисленного деления.

Лемма:

Функция примитивно-рекурсивна, и при этом представима в арифметике формулой [math]B (b,c,i,d) := \exists q ((b = q \cdot (1 + c \cdot (i+1)) + d) \& (d \lt 1 + c \cdot (i+1)))[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Упражнение.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Для любой конечной последовательности чисел [math]k_0[/math] ... [math]k_n[/math] можно подобрать такие константы [math]b[/math] и [math]c[/math], что [math]\beta (b,c,i) = k_i[/math] для [math]0 \le i \le n[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем число [math]c = max(k_1,\dots k_n,n)![/math]. Рассмотрим числа [math]u_i = 1 + c \cdot (i+1)[/math]. Никакие числа [math]u_i[/math] и [math]u_j[/math] [math](0 \le j \lt i \le n)[/math] не имеют общих делителей кроме 1. Пусть это не так, и есть некоторый общий делитель [math]p[/math] (очевидно, мы можем предположить его простоту — разложив на множители, если он составной). Тогда [math]p[/math] будет делить [math]u_i - u_j = c \cdot (i - j)[/math], при этом [math]p[/math] не может делить [math]c[/math] — иначе окажется, что [math]u_i = (1 + c \cdot (i+1))[/math] делится на [math]p[/math] и [math]c \cdot (i+1)[/math] делится на [math]p[/math]. Значит, [math]p[/math] делит [math]i-j[/math], то есть все равно делит [math]c[/math], так как [math]c[/math] — факториал некоторого числа, не меньшего [math]n[/math], и при этом [math]i-j \le n[/math]. Каждое из чисел [math]k_i[/math] меньше, чем [math]u_i[/math]: в самом деле, [math]k_i \le c \lt 1 + c \cdot (i+1) = u_i[/math]. Согласно китайской теореме об остатках, если некоторые натуральные числа [math]u_0, \dots u_n[/math] попарно взаимно просты, то для любых целых чисел [math]k_0, \dots k_n[/math], таких, что [math]0 \le k_i \lt u_i[/math], найдется такое целое число [math]b[/math], для которого выполнено [math]k_i = b \% u_i[/math]. Возьмем [math]b[/math], подсказываемое теоремой об остатках.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Всякая рекурсивная функция представима в арифметике.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Представимость первых четырех примитивов уже показана. Покажем представимость примитивной рекурсии и операции минимизации. Пусть есть некоторый [math]R \langle{} f,g \rangle[/math]. Соответственно, [math]f[/math] и [math]g[/math] уже представлены как некоторые формулы [math]F[/math] и [math]G[/math]. Из определения [math]R\langle{}f,g\rangle[/math] мы знаем, что для значения [math]R \langle{} f,g \rangle (x_1,...x_{n+1})[/math] должна существовать последовательность [math]a_0 ... a_{x_{n+1}}[/math] результатов применения функций f и g — значений на одно больше, чем итераций в цикле примитивной рекурсии, а это количество определяется последним параметром функции [math]R \langle{}f,g\rangle[/math]. При этом: Значит, по лемме, должны существовать такие числа [math]b[/math] и [math]c[/math], что [math]\beta (b,c,i) = a_i[/math] для [math]0 \le i \le x_{n+1}[/math]. Приведенные рассуждения позволяют построить следующую формулу, представляющую [math]R\langle{}f,g\rangle (x_1, ... x_{n+1})[/math]: [math] R(x_1, \dots x_{n+1}, a) := \exists b \exists c (\exists k (B (b, c, 0, k) \& F (x_1,...x_n, k)) \& B(b, c, x_{n+1}, a) \& \forall k (k \lt x_{n+1} \rightarrow \exists d \exists e (B (b, c, k, d) \& B (b, c, k', e) \& G (x_1,..x_n, k, d, e)))[/math] Рассмотрим конструкцию [math]\mu\langle{}f\rangle[/math]. [math]f[/math] уже представлено как некоторая формула [math]F[/math]. Тогда формула [math]M (x_1, \dots x_n,y) := F(x_1, \dots x_n,y,0) \& \forall z (z \lt y \rightarrow \neg F (x_1, \dots x_n,z,0))[/math] представит [math]\mu\langle{}f\rangle[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012
• Рекурсивные функции на википедии