Перечислимые языки

Основные определения

Определение:

Полуразрешимый язык (англ. semi-decidable language) — язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math], [math]\forall x \notin L \Leftrightarrow p(x)=0[/math] или зависнет.

Определение:

Перечислимый язык (англ. recursively enumerable language) — язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math]. Язык [math]L[/math] называется коперечислимым (англ. co-enumerable), если [math]\overline L[/math] — перечислимый. Класс всех перечислимых языков называется [math] \mathrm{RE} [/math], а всех коперечислимих [math] \mathrm{co}[/math]-[math]\mathrm{RE}[/math] .

Определение:

Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом (англ. time limit) [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт [math]\bot[/math] (символ зависания).

Теорема:

[math]L[/math] — перечислимый [math]\Leftrightarrow L[/math] — полуразрешимый.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]: Пусть [math]L[/math] — перечислимый язык. Тогда для него существует программа [math]g[/math], которая по номеру [math]i[/math] выводит слово из [math]L[/math]. Значит, для всех [math]x[/math] из [math]L[/math] путем перебора значений функции [math]g[/math] мы можем найти такое [math]i[/math], что [math] g(i) = x[/math]. Следовательно, существует программа [math]p[/math], такая, что [math]\forall x: x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math]. Тогда [math]L[/math] является полуразрешимым языком. function p(x: int): int for i = 1 to [math]\infty[/math] if g(i) == x return 1 [math] \Longleftarrow [/math]: Пусть [math]L[/math] — полуразрешимый язык. Тогда для него существует программа [math]p[/math], результат которой равен [math]1[/math] для любого слова из [math]L[/math]. Чтобы программа [math]p[/math] не зависала на словах, которые не принадлежат [math]L[/math], будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска [math]i[/math]-го слова из языка [math]L[/math] будем перебирать [math]k[/math] — тайм-лимит с которым будем запускать программу [math]p[/math]. Таким образом существует программа [math]g_0[/math], которая выводит [math]i[/math] слово языка [math]L[/math] с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений, заведем множество [math]U[/math], в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа [math]g[/math] доказывает, что [math]L[/math] является перечислимым языком. function [math]g_0[/math](i: int): int cnt = 0 for k = 1 to [math] \infty[/math] for x [math]\in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math] if [math] p|_k[/math](x) == 1 cnt++ if cnt == i return x function [math]g[/math](i: int): int [math]U = \emptyset[/math] for j = 1 to [math]\infty[/math] x = [math] g_0[/math](j) if x [math]\notin[/math] U cnt++ if cnt == i return x U.insert(x)

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то [math]L[/math] является перечислимым.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]L[/math] — перечислим и коперечислим [math]\Rightarrow[/math] [math]L[/math] — разрешим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим полуразрешители для [math]L[/math] и [math]\overline L[/math] и одновременно запустим их для одного и того же элемента [math]x[/math]. [math]x[/math] принадлежит либо [math] L [/math], либо [math]\overline{L}[/math], поэтому один из полуразрешителей успешно отработает и не зависнет. Значит, мы за конечное время узнаем, лежит ли [math]x[/math] в [math]L[/math] или нет. Таким образом, мы построили разрешитель для [math]L[/math], то есть [math]L[/math] — разрешимый.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры перечислимых языков

Утверждение:

Язык натуральных чисел перечислим.

[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, перечисляющую язык натуральных чисел: function p(i: int): int return i

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Язык чётных неотрицательных чисел перечислим.

[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, перечисляющую язык чётных неотрицательных чисел: function p(i: int): int return i * 2

[math]\triangleleft[/math]

Примеры коперечислимых языков

Утверждение:

Язык нечётных неотрицательных чисел коперечислим.

[math]\triangleright[/math]

[math]\overline L[/math] - язык чётных неотрицательных чисел. Так как язык чётных неотрицательных чисел перечислим, то и язык нечётных неотрицательных чисел тоже перечислим.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Язык простых чисел коперечислим.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] - язык простых чисел, тогда [math]\overline L[/math] - язык, состоящий из составных чисел и единицы. Покажем, что [math]\overline L[/math] полуразрешим, а, следовательно, и перечислим согласно теореме, приведённой выше. Построим простой полуразрешитель: function p(n: int): int for i = 2 to [math]\lceil \sqrt{n} \rceil[/math] if n mod i == 0 return 0 return 1

[math]\triangleleft[/math]

Примеры неперечислимых языков

Утверждение:

Язык пар [math]\langle n, bb(n)\rangle[/math] неперечислим.

[math]\triangleright[/math]

Функция busy beaver [math]bb(n)[/math] — невычислима, следовательно такой язык неперечислим.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
• Wikipedia — Recursively enumerable language
• Википедия — Рекурсивно перечислимый язык