276
правок
Изменения
→Обратная
Операция подстановки в случае, когда <tex>B(0) \ne 0</tex>, не определена. (При попытке подставить такой ряд для вычисления коэффициентов результата возникает необходимость суммирования бесконечных числовых рядов).
==ОбратнаяОбратный ряд=={{Определение|definition='''Левым обратным''' (англ. ''left inverse'') по операции подстановки формальным степенным рядом для ряда <tex>B(t)</tex> называется такой ряд <tex>A(s)</tex>, что <tex>A(B(t)) = t</tex>. Аналогично, '''правым обратным''' (англ. ''right inverse'') формальным степенным рядом для <tex>B(t)</tex> называется такой <tex>C(u)</tex>, что <tex>B(C(u)) = u</tex>.}}
{{Теорема
|about = об обратном формальном степенном ряде
|statement = Пусть ряд <tex>B(t) = b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \dots</tex> таков, что <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>, а <tex>b_1 \ne 0</tex>. Тогда существуют такие ряды <tex> A(s) = a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots</tex>, <tex>A(0) = 0</tex> и <tex>C(u) = c_1 u + c_2 u^2 + c_3 u^3 + \dots</tex>, <tex>C(0) = 0</tex>, что <tex>A(B(t)) = t</tex> и является левым обратным, а <tex>B(C(u)) = u</tex>. При этом, ряды {{---}} правым обратным для <tex>AB(s)</tex> и <tex>C</tex> единственны. Производящие функцииПри этом, соответствующие рядам ряды <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, называются соответственно '''левой''' и '''правой обратной''' (англ. ''left (right) inverse'') к производящей функции, соответствующей ряду <tex>B</tex>единственны.
|proof =
:Докажем по индукции существование и единственность левой обратной функциилевого обратного ряда. Доказательство для правой обратной правого аналогично.
:Будем определять коэффициенты ряда <tex>A</tex> последовательно. Поскольку <tex>A(B(t)) = t</tex>, <tex>a_1 b_1 = 1</tex>, откуда <tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1}</tex>. Все остальные коэффициенты результирующего ряда при этом равны нулю.
:Предположим теперь, что коэффициенты <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> уже определены. Коэффициент <tex>a_{n+1}</tex> определяется из условия <tex>a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0</tex>, где точками обозначен некоторый многочлен от <tex>a_1, \dots, a_n</tex> и <tex>b_1, \dots, b_n</tex>. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на <tex>a_{n+1}</tex>, причем коэффициент <tex>b_1^{n+1}</tex> при <tex>a_{n+1}</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
===Пример===
<tex>B(st) = s t + st^2</tex>
:<tex>a_0 = 0</tex>
:<tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1} = 1</tex>
