Участник:Ivan Trofimov — различия между версиями
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | '''Производящая функция''' (англ. ''generating | + | '''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида: |
<center> | <center> | ||
− | <tex> | + | <tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>, |
</center> | </center> | ||
− | |||
}} | }} | ||
− | |||
+ | == Примечание == | ||
+ | * Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций. | ||
+ | * что-то про то почему s, а не x | ||
+ | == Примеры == | ||
+ | |||
+ | Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | '''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида: | ||
+ | |||
+ | a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Ниже таблица с кучей разных примеров | ||
+ | |||
+ | == Операции == | ||
+ | |||
+ | Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения. | ||
+ | |||
+ | === Умножение === | ||
+ | |||
+ | A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию | ||
+ | A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s | ||
+ | Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел. | ||
+ | |||
+ | === Сложение === | ||
+ | |||
+ | Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей | ||
+ | |||
+ | //пример | ||
+ | |||
+ | === Единица === | ||
+ | |||
+ | Существует единица 1 = 1^-s | ||
+ | |||
+ | === Обратимость === | ||
+ | |||
+ | Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су | ||
+ | Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана | ||
== Источники информации == | == Источники информации == | ||
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год] | * [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год] |
Версия 23:25, 13 июня 2017
Определение: |
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности , | — это формальный ряд вида:
Содержание
Примечание
- Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
- что-то про то почему s, а не x
Примеры
Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
Определение: |
Дзета-функция Римана (англ. Dirichlet generating functions) -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида: a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s |
Ниже таблица с кучей разных примеров
Операции
Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
Умножение
A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.
Сложение
Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей
//пример
Единица
Существует единица 1 = 1^-s
Обратимость
Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
Источники информации
- Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год
- Производящие функции
- Wikipedia — Generating function
- Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера
- Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics