Участник:Ivan Trofimov — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:
+
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:  
 
<center>
 
<center>
<tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,
+
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
 
</center>
 
</center>
порождающий(производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
 
 
}}
 
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
 
  
 +
== Примечание ==
 +
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
 +
* что-то про то почему s, а не x
  
 +
== Примеры ==
 +
 +
Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:
 +
 +
a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
 +
}}
 +
 +
Ниже таблица с кучей разных примеров
 +
 +
== Операции ==
 +
 +
Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
 +
 +
=== Умножение ===
 +
 +
A(s) =  ann−s и B(s) =  bnn−s мы получаем функцию
 +
A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
 +
Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.
 +
 +
=== Сложение ===
 +
 +
Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей
 +
 +
//пример
 +
 +
=== Единица ===
 +
 +
Существует единица 1 = 1^-s
 +
 +
=== Обратимость ===
 +
 +
Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
 +
Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
 
== Источники информации ==  
 
== Источники информации ==  
 
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
 
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]

Версия 23:25, 13 июня 2017

Определение:
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]a_n[/math] — это формальный ряд вида:

[math]A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}[/math],


Примечание

  • Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
  • что-то про то почему s, а не x

Примеры

Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана

Определение:
Дзета-функция Римана (англ. Dirichlet generating functions) -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида: a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s


Ниже таблица с кучей разных примеров

Операции

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

Умножение

A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.

Сложение

Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей

//пример

Единица

Существует единица 1 = 1^-s

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана

Источники информации