Независимые случайные величины — различия между версиями
| Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi </tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если для <tex>\forall \alpha </tex> и <tex>\beta \in \mathbb R</tex> события <tex> \xi \leqslant \alpha</tex> и <tex> \eta \leqslant \beta</tex> независимы. | '''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi </tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если для <tex>\forall \alpha </tex> и <tex>\beta \in \mathbb R</tex> события <tex> \xi \leqslant \alpha</tex> и <tex> \eta \leqslant \beta</tex> независимы. | ||
| + | == Замечание == | ||
| + | |||
| + | Стоить отметить, что если <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <math>\xi</math> = <math>\alpha</math>, <math>\eta</math> = <math>\beta</math>. Но не достаточно рассматривать случай <math>\alpha</math> = <math>\beta</math>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <math>\Omega</math> = {0, 1}. Пусть <math>\xi</math>(i) = i, <math>\eta</math>(i) = i + 2. Если перебрать все значения <math>\alpha</math> (<math>\alpha</math> = <math>\beta</math>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми. | ||
== Примеры == | == Примеры == | ||
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы. | Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы. | ||
Версия 23:45, 23 декабря 2010
Определение
Независимые случайные величины - и называются независимыми, если для и события и независимы.
Замечание
Стоить отметить, что если и - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай = , = . Но не достаточно рассматривать случай = . Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. = {0, 1}. Пусть (i) = i, (i) = i + 2. Если перебрать все значения ( = ), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.
Примеры
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. и - случайные величины. (i) = i % 2, (i) = [i 4]. Пусть = 0, = 0. Тогда P( 0) = 1/2, P( 0) = 1/2, P(( 0)( 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины и независимы.
