Отношение порядка

Определения

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами: Рефлексивность (англ. reflexivity): [math]\forall a \in X: aRa[/math]. Антисимметричность (англ. antisymmetry): [math]\forall a, b \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRa[/math], то [math] a = b [/math]. Транзитивность (англ. transitivity): [math]\forall a, b, c \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRc[/math], то [math]aRc[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами: Антирефлексивность (англ. irreflexivity): [math]\forall a \in X: aRa [/math] — не выполняется. Антисимметричность (англ. antisymmetry): [math]\forall a, b \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRa[/math], то [math] a = b [/math]. Транзитивность: (англ. transitivity) [math]\forall a, b, c \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRc[/math], то [math]aRc[/math].

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X[/math] либо [math]aRb[/math], либо [math]bRa[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall Y \in X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb[/math].

Множество [math]X[/math], на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math]. Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math]».

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math]. Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как «[math]a[/math] меньше [math]b[/math]».

Примеры

• На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
• Отношение «являться делителем» на множестве целых чисел является отношением частичного порядка.
• Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.

Ссылки

• Wikipedia — Частично упорядоченные множества