Изменения

'''Распределение вероятностей'''{{---}} закон, описывающий область значений случайной величины и вероятность их исхода. }}[[Файл:Распределение1_4.JPG‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с p = 3/4]] Законом распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> называется таблица:<tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex>

Распределение вероятностей какойгде <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{-либо случайной --}} всевозможные значения величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей<tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, в более сложных — тто есть <tex>p_i = P(\xi = x_i). н. функцией распределения или плотностью вероятности</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex>

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{4}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{4}$</center>

<center>$P(A_1)=\fracdfrac{3}{16}$ $,$ $P(A_2)=\fracdfrac{1}{16}$ $,$ $P(A_3)=\fracdfrac{8}{16}$ $,$ $P(A_4)=\fracdfrac{4}{16}$</center>

<center>$E\lambda = \fracdfrac{1}{2}\cdot1+\fracdfrac{1}{4}\cdot2+\fracdfrac{1}{8}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot3+\fracdfrac{1}{16}\cdot4 = 1\fracdfrac{7}{8}$</center>Можно сделать схему более экономной, используя свойство датчика случайных чисел формировать не отдельные результаты "честной монеты", а целые наборы их, например в виде числа, равномерно распределённого в $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$: $s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i, i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ определяется такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \le leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$.

Для начала рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \fracdfrac{1}{k},</tex> а в распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2.</tex> Проводим эксперимент: если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> то увеличиваем ее и повторяем эксперимент. На рисунке слева красным обозначенно распределение <tex> q. </tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\fracdfrac{1}{k}.</tex> Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \fracdfrac{k}{k-1}, max(\fracdfrac{k}{k-1}) = 2 (</tex>при <tex>k = 2) </tex>

Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по-прежнему равновероятны <tex>(p_i = \fracdfrac{1}{k}),</tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1).</tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз.

<tex> k^t \ge geqslant 2n, t \ge geqslant \log\limits_{k}2n </tex>

Берем <tex>p_i</tex>, и пусть оно максимальной длины. Проводим <tex>t</tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \fracdfrac{1}{2n}, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\fracdfrac{1}{2}.</tex> Нужно <tex> t \ge geqslant \log\limits_{p}\fracdfrac{1}{2n} </tex>

*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{--- }} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И.В. Дискретный анализ{{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.