Примеры матроидов

Разноцветный матроид

Определение:

Пусть [math]X[/math] — множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество [math]A \in I[/math], если все элементы множества [math]A[/math] разного цвета. Тогда [math] M = \langle X, I\rangle[/math] называется разноцветным матроидом (англ. multicolored matroid).

Утверждение:

Разноцветный матроид является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Докажем аксиомы независимости для [math] I [/math]. [math]\varnothing \in I[/math] В пустом множестве нет элементов [math]\Rightarrow[/math] можем считать, что все элементы различных цветов. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Если в [math]B[/math] все элементы разного цвета, то и в [math]A \subset B[/math] это будет выполняться. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] В каждом из множеств [math]A[/math] и [math]B[/math] все элементы разных цветов. Так как [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert[/math], значит в [math]B[/math] есть хотя бы один элемент [math]x[/math] такого цвета, которого нет среди элементов множества [math]A[/math], таким образом [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Универсальный матроид

Определение:

Универсальным матроидом (англ. uniform matroid) называют объект [math]U_{nk} = \langle X, I \rangle [/math], где [math]X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\}[/math]

Утверждение:

Универсальный матроид является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] [math] \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I[/math] [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] [math] \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \in I [/math] [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I[/math] Так как [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert [/math] и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число [math] x \in B [/math], которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству [math] A [/math]. Рассмотрим [math] A \cup \{ x \mathcal \} [/math]. [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cup \{ x \} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Графовый матроид

Определение:

Пусть [math]G = \langle V, E \rangle[/math] — неориентированный граф. Тогда [math]M = \langle E, I \rangle [/math], где [math]I[/math] состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют графовым (графическим) матроидом (англ. graphic matroid).

Утверждение:

Графовый матроид является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] Пустое множество является ациклическим, а значит входит в [math]I[/math]. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в [math]I[/math] вследствие своей ацикличности. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I[/math] В графе [math]G_A = \langle V, A \rangle [/math] как минимум две компоненты связанности, иначе [math]G_A[/math] являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью. Допустим в [math]B[/math] не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из [math]G_A[/math], значит любая компонента связанности из [math]G_B[/math] целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из [math]G_A[/math]. Рассмотрим любую компоненту связанности [math]Q[/math] из [math]G_A[/math], у неё [math]k[/math] вершин и [math]k - 1[/math] рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности [math]P_i[/math] из [math]G_B[/math], вершинно-входящие в [math]Q[/math], пусть их [math]m[/math] штук, тогда суммарное количество рёбер из [math]P_i[/math] равно [math]k - m[/math], что не превосходит [math]k - 1[/math] (количество рёбер в [math]Q[/math]). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из [math]G_A[/math] и получим [math]\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert[/math], что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в [math]B[/math] существует искомое ребро [math]x[/math] из разных компонент связанности [math]G_B[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Матричный матроид

Определение:

Пусть [math]V[/math] — векторное пространство над телом [math]F[/math], пусть набор векторов [math]V_i = \mathcal{f} v_1, \ \dots, \ v_n\mathcal {g}[/math] из пространства [math]V[/math] является носителем [math]X[/math]. Элементами независимого множества [math]I[/math] данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора [math]v_ 1, \ \dots, \ v_n[/math]. Тогда [math]M = \langle V_i, I \rangle [/math], называется матричным матроидом (англ. vector matroid)

Утверждение:

Матричный матроид является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] Множество в котором нет векторов является линейно-независимым. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I[/math] Так как [math]A \in I[/math], то [math]\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert[/math]. По условию [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)[/math], то есть [math]x \notin A[/math]. Тогда множество [math] A \cup \{ x \} [/math] линейно-независимо по определению линейной оболочки.

[math]\triangleleft[/math]

Трансверсальный матроид

Определение:

Пусть [math]G = \langle X, Y, E \rangle[/math] — двудольный граф. [math]I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists [/math] паросочетание [math] P[/math], покрывающее [math]A \mathcal {g} [/math]. Тогда [math]M = \langle X, I \rangle [/math] называют трансверсальным матроидом (англ. transversal matroid).

Утверждение:

Трансверсальный матроид является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] Пустое паросочетание удовлетворяет условию. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания [math]P[/math] ребра, концами которых являются вершины из множества [math]B \setminus A[/math]. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим [math]A[/math]. Значит [math] A \in I [/math]. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I[/math] Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего [math] B [/math] в синий цвет, а соответствующего [math] A [/math] — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится [math] \left\vert B \setminus A \right\vert [/math] ребер синего цвета, [math] \left\vert A \setminus B \right\vert [/math] ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение [math] \left\vert B \setminus A \right\vert \gt \left\vert A \setminus B \right\vert[/math]. Рассмотрим подграф [math] H [/math], индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь [math] H' [/math]. Поменяем в [math] H' [/math] синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид [math]A \cup \{ x \} [/math], где [math] x \in B \setminus A [/math]. Что значит, что [math] A \cup \{ x \} \in I[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Матроид паросочетаний

Определение:

Пусть [math]G = \langle V, E \rangle[/math] — неориентированный граф. [math]I = \mathcal{f} A \subset V \mid \exists[/math] паросочетание [math]P[/math], покрывающее [math]A \mathcal {g}[/math]. Тогда [math]M = \langle V, I \rangle [/math] называют матроидом паросочетаний (англ. matching matroid).

Утверждение:

Матроид паросочетаний является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] Пустое паросочетание удовлетворяет условию. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Удалим из исходного паросочетания [math]P[/math] ребра, концами которых являются вершины из множества [math]B \setminus A[/math]. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим [math]A[/math]. Значит [math]A \in I[/math]. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] Пусть паросочетание [math]P_A[/math] покрывает множество [math]A[/math], [math]P_B[/math] — множество [math]B[/math]. Все вершины, принадлежащие [math]A \cap B[/math] покроем ребрами из паросочетания [math]P_B[/math]. Так как [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A[/math] Рассмотрим три возможных случая: [math]\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A[/math] покрывает [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] [math]\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A[/math]. Мы можем добавить в [math]A[/math] вершину [math]x[/math] (или [math]y[/math]), а в [math]P_A[/math] ребро [math]xy[/math]. Тогда паросочетание [math]P_A \cup xy[/math] покрывает [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I[/math] Если первые два случая не выполнились, значит [math]\forall x \in B \setminus A[/math] [math]\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B[/math]. Обозначим множество таких [math]y[/math] за [math]C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert \gt \left\vert A \setminus B \right\vert[/math]. Таким образом в [math]C[/math] найдется хотя бы одна вершина [math]y[/math], не покрытая паросочетанием [math]P_A[/math]. Тогда паросочетание [math]P_A \cup xy[/math] покрывает [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Матроид разбиений

Определение:

Пусть [math]X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i[/math], при этом [math] X_i \cap X_j = 0[/math], [math]\forall i \neq j[/math], и [math]k_1 \dots k_n[/math] — положительные целые числа. [math]I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \mathcal {g}[/math]. Тогда [math]M = \langle X, I \rangle [/math] называют матроидом разбиений (англ. partition matroid)

Утверждение:

Матроид разбиений является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: [math]\varnothing \in I[/math] [math]\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I[/math] [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math] [math]A \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I[/math] [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] Пусть [math]\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cap X_j \right\vert \gt k_j[/math], но так как [math]A \in I[/math], то есть [math] \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j[/math] и [math]x \in X_j[/math]. Из последнего следует, что [math]\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j[/math]. [math]\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j[/math], а [math]\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert[/math]. Так как [math]\left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert \lt \left\vert B \setminus A \right\vert[/math], тогда [math]\left\vert B \cap X_j \right\vert \gt k_j[/math], но [math]B \in I[/math], противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Бинарный матроид

Определение:

Матроид [math]M[/math] представим над полем [math]F[/math], если он изоморфен некоторому векторному матроиду над этим полем.

Определение:

Бинарный матроид (англ. binary matroid) — матроид, представимый над полем целых чисел по модулю [math]2[/math].

Утверждение:

Графовый матроид является бинарным.

[math]\triangleright[/math]

Составим матрицу инцидентности [math]A = (a_{ij})[/math] для графа [math]G = \langle V, E \rangle[/math]. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы — ребрам. Если [math]j[/math]-ое ребро есть петля, инцидентная [math]i[/math]-ой вершине, то [math]a_{ij} = 0[/math]. Если [math]i[/math]-ая вершина инцидентна [math]j[/math]-ому ребру, то [math]a_{ij} = 1[/math] Иначе [math]a_{ij} = 0[/math] Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер [math]A \in I[/math], то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа [math]G[/math] содержат цикл. [math]\Rightarrow[/math] Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл. Если некоторые столбцы матрицы [math]A[/math] линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта: Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл. У нас есть столбец [math]S[/math], который является суммой остальных столбцов. Этому столбцу соответствует ребро [math]uv[/math]. Начнем с вершины [math]u[/math] переходить по другим ребрам из [math]R \setminus uv[/math] (по каждому ребру проходим только один раз), в итоге мы придем в вершину [math]v[/math], так для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце [math]S[/math] была бы единица (а единицы у нас только на позициях [math]u[/math] и [math]v[/math]). Таким образом мы показали, что существует два пути между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] (тот который мы построили и путь по ребру [math]uv[/math]), значит в выбранном множестве ребер есть цикл. [math]\Leftarrow[/math] Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов. Если среди данного множества ребер есть петля, то соответствующий ей столбец будет нулевым (по построению матрицы инцидентности), он и обеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов. Если петли нет, то рассмотрим столбцы, отвечающие ребрам простого цикла. Любая строка матрицы [math]A[/math] содержит в этих столбцах ровно 2 единицы. Поэтому сумма по модулю [math]2[/math] указанных столбцов равна нулевому столбцу, что означает линейную зависимость исходного множества столбцов.

[math]\triangleleft[/math]

Другие матроиды

Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами.

Определение:

Матроид с выкинутым элементом. Пусть [math]M = \langle X, I\rangle[/math] — матроид. Определим [math]M\setminus x = \langle X \setminus x, \ \{A \mid A \in I, \ x \not\in A\}\rangle[/math]. Для любых [math]M[/math] и [math]x[/math] получившаяся конструкция [math]M\setminus x[/math] является матроидом.

Определение:

Матроид, стянутый по элементу. Пусть [math]M = \langle X, I\rangle[/math] — матроид. Определим [math]M/x = \langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle[/math]. Для любых [math]M[/math] и [math]x[/math], таких что [math]\{x\}\in I,[/math] получившаяся конструкция [math]M/x[/math] является матроидом.

Определение:

Пусть [math]M = \langle X, I \rangle[/math] — матроид. Обозначим как [math]M|_k[/math] следующую констркуцию: [math]M|_k = \langle X, \ \{A \mid A \in I, |A| \leqslant k \}\rangle[/math], тогда [math]M|_k[/math] называют урезанным матроидом.

Определение:

Полный матроид — матроид [math] M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math] такой, что [math]\mathcal{I} = 2^X[/math].

Определение:

Тривиальный матроид — матроид [math] M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math] такой, что [math]\mathcal{I} = \varnothing [/math].

См. также

• Определение матроида
• Прямая сумма матроидов
• Двойственный матроид

Источники

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
• Уилсон Р. — Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов)
• Примеры матроидов
• Wikipedia — Matroid
• Википедия — Матроид