Виды ансамблей

Ансамбль

Ансамбль алгоритмов (методов) — метод, который использует несколько обучающих алгоритмов с целью получения лучшей эффективности прогнозирования, чем можно было бы получить от каждого обучающего алгоритма по отдельности.

Рассмотрим задачу классификации на K классов: [math]Y = \{1, 2, ..., K\}[/math].
Пусть имеется M классификатор ("экспертов"): [math] f_1, f_2, ..., f_M [/math].
[math] f_m : X \leftarrow Y, f_m \in F, m = (1 ... M) [/math].

Тогда давайте посмотрим новый классификатор на основе данных:

Простое голосование: [math] f(x) = \max \limits_{k = 1 .. K} \sum \limits_{i = 1}^M I(f_i(x) = k) [/math].
Взвешенное голосование: [math] f(x) = \max \limits_{k = 1 .. K} \sum \limits_{i = 1}^M \alpha_i I(f_i(x) = k), \sum \limits_i \alpha_i = 1, \alpha_i \gt 0[/math].

Теорема Кондорсе о присяжных

Теорема:

Если каждый член жюри присяжных имеет независимое мнение, и если вероятность правильного решения члена жюри больше 0.5, то тогда вероятность правильного решения присяжных в целом возрастает с увеличением количества членов жюри, и стремиться к единице. Если же вероятность быть правым у каждого из членов жюри меньше 0.5, то вероятность принятия правильного решения присяжными в целом монотонно уменьшается и стремится к нулю с увеличением количества присяжных.

Пусть [math]M[/math] — количество присяжный, [math]p[/math] — вероятность правильного решения одного эксперта, [math]R[/math] — вероятность правильного решения всего жюри, [math]m[/math] — минимальное большинство членов жюри [math] = \lfloor \frac N 2 \rfloor + 1 [/math].

Тогда [math] R = \sum \limits_{i = m}^M C_M^i p ^ i (1 - p) ^ {M - i} [/math]

Вероятность правильного решения всего жюри (R) в зависимости от вероятности правильного решения одного эксперта (p) при разном количестве экспертов(M)

Бэггинг

Пусть имеется выборка [math]X[/math] размера [math]N[/math]. Количество классификаторов [math]M[/math].

Для алгоритма нам понадобится метод бутстрэпа (англ. bootstrap):

   Равномерно возьмем из выборки [math]N[/math] объектов с возвращением. Это означает, что мы будем [math]N[/math] раз равновероятно выбирать произвольный объект выборки, причем каждый раз мы выбираем из всех исходных [math]N[/math] объектов. Отметим, что из-за возвращения среди них окажутся повторы. 
Обозначим новую выборку через [math]X_1[/math]. Повторяя процедуру [math]M[/math] раз, сгенерируем [math]M[/math] подвыборок [math]X_1 ... X_M[/math]. Теперь мы имеем достаточно большое число выборок и можем оценивать различные статистики исходного распределения.

Алгоритм классификации в технологии бэггинг на подпространствах:

• Генерируется с помощью бутстрэпа M выборок размера N для каждого классификатора.
• Производится независимое обучения каждого элементарного классификатора (каждого алгоритма, определенного на своем подпространстве).
• Производится классификация основной выборки на каждом из подпространств (также независимо).
• Принимается окончательное решение о принадлежности объекта одному из классов. Это можно сделать несколькими разными способами, подробнее описано ниже.

Окончательное решение о принадлежности объекта классу может приниматься, например, одним из следующих методов:

• Консенсус: если все элементарные классификаторы присвоили объекту одну и ту же метку, то относим объект к выбранному классу.
• Простое большинство: консенсус достижим очень редко, поэтому чаще всего используют метод простого большинства. Здесь объекту присваивается метка того класса, который определило для него большинство элементарных классификаторов.
• Взвешивание классификаторов: если классификаторов четное количество, то голосов может получиться поровну, еще возможно, что для эксперты одна из групп параметров важна в большей степени, тогда прибегают к взвешиванию классификаторов. То есть при голосовании голос классификатора умножается на его вес.

Рассмотрим задачу регрессии с базовыми алгоритмами [math]b_1, b_2, ..., b_m[/math]. Предположим, что существует истинная функция ответа для всех объектов y(x), а также задано распределение p(x) на объектах. В этом случае мы можем записать ошибку каждой функции регрессии:

[math] \epsilon_i(x) = b_i(x) - y(x), y = 1, ..., n [/math]

и записать матожидание среднеквадратичной ошибки:

[math]E_x(b_i(x) - y(x))^2 = E_x \epsilon_i^2(x) [/math]

Средняя ошибка построенных функций регрессии имеет вид:

[math]E_1 = \frac 1 n E_x \sum \limits_{i = 1}^n \epsilon_i^2(x) [/math]

Предположим, что ошибки несмещены и некоррелированы:

[math] E_x\epsilon_i(x) = 0, E_x\epsilon_i(x)\epsilon_j(x) = 0, i ≠ j [/math]

Построим теперь новую функцию регрессии, которая будет усреднять ответы построенных нами функций:

[math] a(x) = \frac 1 n \sum \limits_{i = 1}^n b_i(x) [/math]

Найдем ее среднеквадратичную ошибку:

[math] E_n = E_x(\frac 1 n \sum \limits_{i = 1}^n (b_i(x) - y(x))^2 = E_x(\frac 1 n \sum \limits_{i = 1}^n \epsilon_i)^2 = \frac 1 {n^2} E_x(\sum \limits_{i = 1}^n \epsilon_i^2(x) + \sum \limits_{i ≠ j} \epsilon_i(x)\epsilon_j(x)) = \frac 1 n E_1 [/math]

Таким образом, усреднение ответов позволило уменьшить средний квадрат ошибки в [math]n[/math] раз.

Бустинг

Бустинг (англ. boosting — улучшение) — это процедура последовательного построения композиции алгоритмов машинного обучения, когда каждый следующий алгоритм стремится компенсировать недостатки композиции всех предыдущих алгоритмов. Бустинг представляет собой жадный алгоритм построения композиции алгоритмов.

Пусть [math]h(x, a)[/math] - базовый классификатор, где [math]a[/math] - вектор параметров.

Задача состоит в том, чтоб найти такой алгоритм [math]H_T(x) = \sum_{t=1}^T b_t h(x, a),[/math] где [math]b_t \in \mathbb{R}[/math] - коэффиценты, такие, чтобы минимизировать эмпирический риск [math]Q = \sum_i L(H_T(x_i), y_i) \rightarrow min[/math], где [math]L(H_T(x_i), y_i)[/math] - функция потерь.

Очевидно, что сложно найти сразу [math]\{(a_t, b_t)\}_{t=1}^T.[/math] Основная идея в том, чтоб найти решение пошагово [math]H_t(x) = H_{t - 1}(x) + b_t h(x, a_t)[/math]. Таким образом мы сможем постепенно оценивать изменение эмпирического риска [math]Q^{(t)} = \sum_{i = 1}^l L(H_t(x_i), y_i) [/math].

Алгоритмы бустинга:

AdaBoost — адаптивный алгоритм бустинга, усиливающий классификаторы, объединяя их в «комитет». Чувствителен к шуму.

BrownBoost — алгоритм бустинга, эффективный на зашумленных наборах данных

GradientBoost - алгоритм бустинга, использующий идеи линейной регресии

LogitBoost - алгоритм бустинга, использующий идеи логистической регресси

Примеры кода

Инициализация

   from pydataset import data
   
   #Считаем данные The Boston Housing Dataset
   df = data('Housing')

   #Проверим данные
   df.head().values
   array([[42000.0, 5850, 3, 1, 2, 'yes', 'no', 'yes', 'no', 'no', 1, 'no'],
          [38500.0, 4000, 2, 1, 1, 'yes', 'no', 'no', 'no', 'no', 0, 'no'],
          [49500.0, 3060, 3, 1, 1, 'yes', 'no', 'no', 'no', 'no', 0, 'no'], ...

   # Создадим словарь для слов 'no', 'yes'
   d = dict(zip(['no', 'yes'], range(0,2)))
   for i in zip(df.dtypes.index, df.dtypes):
       if str(i[1]) == 'object':
           df[i[0]] = df[i[0]].map(d)
   df[‘price’] = pd.qcut(df[‘price’], 3, labels=[‘0’, ‘1’, ‘2’]).cat.codes
   
   # Разделим множество на два
   y = df['price'] 
   X = df.drop('price', 1)

Бэггинг

   # Импорты классификаторов
   from sklearn.model_selection import cross_val_score
   from sklearn.ensemble import BaggingClassifier, ExtraTreesClassifier, RandomForestClassifier
   from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
   from sklearn.linear_model import RidgeClassifier
   from sklearn.svm import SVC
   
   seed = 1075
   np.random.seed(seed)
   # Инициализуруем классификаторы
   rf = RandomForestClassifier()
   et = ExtraTreesClassifier()
   knn = KNeighborsClassifier()
   svc = SVC()
   rg = RidgeClassifier()
   clf_array = [rf, et, knn, svc, rg]
   
   for clf in clf_array:
       vanilla_scores = cross_val_score(clf, X, y, cv=10, n_jobs=-1)
       bagging_clf = BaggingClassifier(clf, max_samples=0.4, max_features=10, random_state=seed)
       bagging_scores = cross_val_score(bagging_clf, X, y, cv=10, n_jobs=-1)
       print "Mean of: {1:.3f}, std: (+/-) {2:.3f [{0}]"  
                          .format(clf.__class__.__name__, 
                          vanilla_scores.mean(), vanilla_scores.std())
       print "Mean of: {1:.3f}, std: (+/-) {2:.3f} [Bagging {0}]\n"
                          .format(clf.__class__.__name__, 
                           bagging_scores.mean(), bagging_scores.std())

   #Результат
   Mean of: 0.632, std: (+/-) 0.081 [RandomForestClassifier]
   Mean of: 0.639, std: (+/-) 0.069 [Bagging RandomForestClassifier]
   
   Mean of: 0.636, std: (+/-) 0.080 [ExtraTreesClassifier]
   Mean of: 0.654, std: (+/-) 0.073 [Bagging ExtraTreesClassifier]
   
   Mean of: 0.500, std: (+/-) 0.086 [KNeighborsClassifier]
   Mean of: 0.535, std: (+/-) 0.111 [Bagging KNeighborsClassifier]
   
   Mean of: 0.465, std: (+/-) 0.085 [SVC]
   Mean of: 0.535, std: (+/-) 0.083 [Bagging SVC]
   
   Mean of: 0.639, std: (+/-) 0.050 [RidgeClassifier]
   Mean of: 0.597, std: (+/-) 0.045 [Bagging RidgeClassifier]

Бустинг

   ada_boost = AdaBoostClassifier()
   grad_boost = GradientBoostingClassifier()
   xgb_boost = XGBClassifier()
   boost_array = [ada_boost, grad_boost, xgb_boost]
   eclf = EnsembleVoteClassifier(clfs=[ada_boost, grad_boost, xgb_boost], voting='hard')
   
   labels = ['Ada Boost', 'Grad Boost', 'XG Boost', 'Ensemble']
   for clf, label in zip([ada_boost, grad_boost, xgb_boost, eclf], labels):
       scores = cross_val_score(clf, X, y, cv=10, scoring='accuracy')
       print("Mean: {0:.3f}, std: (+/-) {1:.3f} [{2}]".format(scores.mean(), scores.std(), label))

   # Результат
   Mean: 0.641, std: (+/-) 0.082 [Ada Boost]
   Mean: 0.654, std: (+/-) 0.113 [Grad Boost]
   Mean: 0.663, std: (+/-) 0.101 [XG Boost]
   Mean: 0.667, std: (+/-) 0.105 [Ensemble]

Источники информации

• https://medium.com/@rrfd/boosting-bagging-and-stacking-ensemble-methods-with-sklearn-and-mlens-a455c0c982de
• https://www.cs.toronto.edu/~delve/data/boston/bostonDetail.html