Согласованный интервал

Определение:

Интервал — упорядоченная пара срезов [math][G, H][/math] такая, что [math]G \le H[/math].

Определение:

Интервал $[G, H]$ является согласованным, если [math]\forall e, g: g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H[/math].

Это значит, что нет сообщений, которые пересекают весь согласованный интервал в обратную сторону (или, что то же самое, нет и "произошло-до" в обратную сторону). Если взять $[G, G]$, то получим в точности определение согласованного среза.

Теорема: "интервал $[G, H]$ согласован" равносильно "существует согласованный срез $X$ внутри интервала: $G \le X \le H$".

В одну сторону очевидно: если внутри интервала есть согласованный срез, то этот срез в обратную сторону сообщения пересекать не могут. Значит, не могут они пересекать и весь интервал.

В обратную сторону (на экзамене не требуется): рассмотрим произвольный согласованный интервал [math][G, H][/math]. В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности).

[math]G[/math] может не быть согласованным срезом (если есть стрелочка из [math]H \setminus G[/math] в [math]G[/math]), что печально. Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону. Придумаем формальное "замыкание" [math]G[/math]: возьмём множество [math]X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}[/math].

• $G \subseteq X$ по построению (тут пользуемся тем, что $a \to a$).
• $X \subseteq H$, иначе есть стрелочка, пересекающая согласованный интервал в обратную сторону.
• $X$ является срезом, так как если есть $a < b$ и $b \in X$, есть $g \in G$ такое, что $b \rightarrow g$. По транзитивности имеем $a \rightarrow g$, что и требуется.
• $X$ является согласованным срезом. Пусть есть события $a \rightarrow b$, причём $b \in X$. Тогда есть такое $g \in G$, что $b \rightarrow g$. Следовательно, $a \rightarrow g$. Значит, $a \in X$, что и требовалось.