2SAT

Задача:

[math]\mathrm {2SAT}[/math] (2-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде 2-КНФ (КНФ Крома), таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].

Алгоритм решения

Рассмотрим любой дизъюнкт функции: [math] a \vee b [/math]. Несложно заметить, что это равнозначно записи [math](\overline a \to b \wedge \overline b \to a) [/math].

Построим ориентированный граф, где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: [math]\overline a \to b [/math] и [math] \overline b \to a [/math] для каждого дизъюнкта функции [math] a \vee b [/math].

Теорема:

Для того, чтобы данная задача [math]\mathrm {2SAT}[/math] имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. [math](\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math](\Rightarrow)[/math]Докажем достаточность: Пусть [math]\mathrm {2SAT}[/math] имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] можно достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math] одновременно. [math]((\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x)) [/math]. Тогда чтобы из [math] \overline x [/math] достичь [math] x [/math] [math] (\overline x \to x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен [math] 1 [/math]. С другой стороны для того, чтобы из [math] x [/math] достичь [math] \overline x [/math] [math] (x \to \overline x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие. [math](\Leftarrow)[/math]Докажем необходимость: Пусть для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы [math]\mathrm {2SAT}[/math] имело решение. Пусть из [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math], но из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math]. Докажем, что из [math] x [/math] не достижимо такой [math] y [/math], что из [math] y [/math] достижимо [math] \overline y [/math]. (т.е. [math] x \to y \to \overline y\, (x = 1, y = 0)) [/math]. Если из [math] x \to y [/math], то [math] \overline x \vee y [/math], отсюда следует [math] \overline y \to \overline x [/math]. Тогда [math] x \to y \to \overline y \to \overline x [/math]. Следовательно [math] x \to \overline x [/math]. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теперь мы можем собрать весь алгоритм воедино:

1. Построим граф импликаций.
2. Найдём в этом графе компоненты сильной связности за время [math]O(N + M)[/math], где [math] N [/math] — количество вершин в графе (удвоенное количество переменных), а [math] M [/math] — количество ребер графа (удвоенное количество дизъюнктов).
3. Пусть [math]comp[v][/math] — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершине [math]v[/math]. Проверим, что для каждой переменной [math]x[/math] вершины [math]x[/math] и [math]\overline x[/math] лежат в разных компонентах, т.е. [math]comp[x] \ne comp[\overline x][/math]. Если это условие не выполняется, то вернуть решение не существует.
4. Если [math]comp[x] \gt comp[\overline x][/math], то переменной [math]x[/math] выбираем значение [math] \mathtt {true}[/math], иначе — [math] \mathtt {false}[/math].

Компоненты сильной связности найдем за [math]O(N + M)[/math], затем проверим каждую из [math]N[/math] переменных за [math]O(N)[/math]. Следовательно асимптотика [math]O(N + M)[/math].

Примеры решения 2SAT

Первый пример

Рассмотрим следующую функцию: [math] (a \vee b) \wedge (a \vee c) \wedge (\overline b \vee c) \wedge (\overline b \vee a) [/math]

Данная функция эквивалентна функции [math] \overline a \to b \wedge \overline b \to a \wedge \overline a \to c \wedge \overline c \to a \wedge b \to c \wedge \overline c \to \overline b \wedge \overline a \to \overline b \wedge a \to b [/math].

Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер: множество вершин [math] V = \{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, [/math] множество ребер [math] E = \{(\overline a, b), (\overline b, a), (\overline a, c), (\overline c, a), (b, c), (\overline c, \overline b), (\overline a, \overline b), (a, b)\}[/math].

Рассмотрим в графе следующие пути:

• [math] \overline a \to b \to a [/math]
• [math] \overline a \to \overline b \to a [/math]
• [math] \overline c \to a [/math]
• [math] a \to c [/math]
• [math] \overline a \to b \to c [/math].

Т.к. [math] \overline a \to a [/math], то [math] a = 1, \overline a = 0 [/math].

Т.к. [math] a \to c [/math] и [math] a = 1 [/math], то [math] c = 1, \overline c = 0 [/math].

Значения [math] b [/math] может быть любым, т.к. все вершины, из которых можно добраться в [math] b [/math] имеют значение ноль.

Ответ: [math] a = 1, b = 0, c = 1 [/math] или [math] a = 1, b = 1, c = 1 [/math].

Второй пример

Рассмотрим следующую функцию: [math] (\overline a \vee c) \wedge (\overline c \vee \overline a) \wedge (a \vee b) \wedge (\overline b \vee a) [/math]

Данная функция эквивалентна функции [math] a \to c \wedge \overline c \to \overline a \wedge c \to \overline a \wedge a \to \overline c \wedge \overline a \to b \wedge \overline b \to a \wedge b \to a \wedge \overline b \to \overline a [/math]

Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер: множество вершин V = [math]\{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, [/math] множество ребер [math] E = \{(a, c), (\overline c, \overline a), (c, \overline a), (a, \overline c), (\overline a, b), (\overline b, a), (b, a), (\overline b, \overline a)\}[/math].

Заметим следующий путь: [math] a \to c \to \overline a \to b \to a [/math].

Отсюда следует, что [math] a \to \overline a \to a [/math].

Следовательно по ранее доказанной теореме, у данной функции решений нет.

Ответ: Решений нет.

Использование 2SAT

Решение [math]\mathrm {2SAT}[/math] может потребоваться в следующих задачах:

• латинские квадраты,
• квазигруппы,
• числа Рамсея,
• система Штейнера,
• проектирование протоколов (пример: для сетевых коммуникаций),
• электронная коммерция (Электронные аукционы и автоматизированные брокеры,
• теории кодирования, криптографии,
• проектирование и тестирование лекарств (мед. препаратов).

См. также

• NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ

Источники информации

• MAXimal :: algo :: Задача 2SAT (2-CNF)
• Википедия — 2-satisfiability