Оценка качества в задачах классификации и регрессии

В машинном обучении различают оценки качества для задачи классификации и регрессии. Причем оценка задачи классификации часто значительно сложнее, чем оценка регрессии.

Оценки качества классификации

Сonfusion matrix (матрица ошибок)

Перед переходом к самим метрикам необходимо ввести важную концепцию для описания этих метрик в терминах ошибок классификации — confusion matrix (матрица ошибок). Допустим, что у нас есть два класса [math]y = \{ 0, 1 \}[/math] и алгоритм, предсказывающий принадлежность каждого объекта одному из классов. Рассмотрим пример. Пусть банк использует систему классификации заёмщиков на кредитоспособных и некредитоспособных. При этом первым кредит выдаётся, а вторые получат отказ. Таким образом, обнаружение некредитоспособного заёмщика ([math]y = 1 [/math]) можно рассматривать как "сигнал тревоги", сообщающий о возможных рисках.

Любой реальный классификатор совершает ошибки. В нашем случае таких ошибок может быть две:

• Кредитоспособный заёмщик распознается моделью как некредитоспособный и ему отказывается в кредите. Данный случай можно трактовать как "ложную тревогу".
• Некредитоспособный заёмщик распознаётся как кредитоспособный и ему ошибочно выдаётся кредит. Данный случай можно рассматривать как "пропуск цели".

Несложно увидеть, что эти ошибки неравноценны по связанным с ними проблемам. В случае "ложной тревоги" потери банка составят только проценты по невыданному кредиту (только упущенная выгода). В случае "пропуска цели" можно потерять всю сумму выданного кредита. Поэтому системе важнее не допустить "пропуск цели", чем "ложную тревогу".

Поскольку с точки зрения логики задачи нам важнее правильно распознать некредитоспособного заёмщика с меткой [math]y = 1 [/math], чем ошибиться в распознавании кредитоспособного, будем называть соответствующий исход классификации положительным (заёмщик некредитоспособен), а противоположный - отрицательным (заемщик кредитоспособен [math]y = 0 [/math]). Тогда возможны следующие исходы классификации:

• Некредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. положительный класс распознан как положительный. Наблюдения, для которых это имеет место называются истинно-положительными (true positive - TP).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как кредитоспособный, т.е. отрицательный класс распознан как отрицательный. Наблюдения, которых это имеет место, называются истинно отрицательными (true negative - TN).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой отрицательный класс был распознан как положительный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-положительными (false positive - FP), а ошибка классификации называется ошибкой I рода.
• Некредитоспособный заёмщик распознан как кредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой положительный класс был распознан как отрицательный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-отрицательными (false negative - FN), а ошибка классификации называется ошибкой II рода.

Таким образом, ошибка I рода, или ложно-положительный исход классификации, имеет место, когда отрицательное наблюдение распознано моделью как положительное. Ошибкой II рода, или ложно-отрицательным исходом классификации, называют случай, когда положительное наблюдение распознано как отрицательное. Поясним это с помощью матрицы ошибок классификации:

Здесь [math]a ( x )[/math] — это ответ алгоритма на объекте, а [math]y [/math] — истинная метка класса на этом объекте. Таким образом, ошибки классификации бывают двух видов: False Negative (FN) и False Positive (FP). Каждая строка в матрице ошибок представляет фактический класс, а каждый столбец - спрогнозированный класс.

 # код для матрицы ошибок
 from sklearn.metrics import confusion_matrix
 import pandas as pd
 n = confusion_matrix(y, a) # 1-й способ
 n = pd.crosstab(y, a) # 2-й способ
 # Вычисление TN, FP, FN, TP 
 TN, FP, FN, TP = confusion_matrix(y, a).ravel()

Accuracy

Интуитивно понятной, очевидной и почти неиспользуемой метрикой является accuracy — доля правильных ответов алгоритма:

Эта метрика бесполезна в задачах с неравными классами, и это легко показать на примере.

Допустим, мы хотим оценить работу спам-фильтра почты. У нас есть 100 не-спам писем, 90 из которых наш классификатор определил верно (True Negative = 90, False Positive = 10), и 10 спам-писем, 5 из которых классификатор также определил верно (True Positive = 5, False Negative = 5). Тогда accuracy:

Однако если мы просто будем предсказывать все письма как не-спам, то получим более высокую accuracy:

При этом, наша модель совершенно не обладает никакой предсказательной силой, так как изначально мы хотели определять письма со спамом. Преодолеть это нам поможет переход с общей для всех классов метрики к отдельным показателям качества классов.

Precision

Precision (точностью) называется доля правильных ответов модели в пределах класса – это доля объектов действительно принадлежащих данному классу относительно всех объектов которые система отнесла к этому классу.

Именно введение precision не позволяет нам записывать все объекты в один класс, так как в этом случае мы получаем рост уровня False Positive.

Recall

Recall (Полнота системы) – это доля найденных классфикатором объектов принадлежащих классу относительно всех документов этого класса в тестовой выборке.

Recall демонстрирует способность алгоритма обнаруживать данный класс вообще.

Имея матрицу ошибок точность и полнота для каждого класса рассчитывается очень просто. Precision (точность) равняется отношению соответствующего диагонального элемента матрицы и суммы всей строки класса. Recall (полнота) – отношению диагонального элемента матрицы и суммы всего столбца класса. Формально:

Результирующая точность классификатора рассчитывается как арифметическое среднее его точности по всем классам. То же самое с полнотой. Технически этот подход называется macro-averaging.

F-mera

Precision и recall не зависят, в отличие от accuracy, от соотношения классов и потому применимы в условиях несбалансированных выборок. Часто в реальной практике стоит задача найти оптимальный (для заказчика) баланс между этими двумя метриками. Понятно что чем выше точность и полнота, тем лучше. Но в реальной жизни максимальная точность и полнота не достижимы одновременно и приходится искать некий баланс. Поэтому, хотелось бы иметь некую метрику которая объединяла бы в себе информацию о точности и полноте нашего алгоритма. В этом случае нам будет проще принимать решение о том какую реализацию запускать в production (у кого больше тот и круче). Именно такой метрикой является F-мера.

F-мера представляет собой гармоническое среднее между точностью и полнотой. Она стремится к нулю, если точность или полнота стремится к нулю.

Данная формула придает одинаковый вес точности и полноте, поэтому F-мера будет падать одинаково при уменьшении и точности и полноты. Возможно рассчитать F-меру придав различный вес точности и полноте, если вы осознанно отдаете приоритет одной из этих метрик при разработке алгоритма.

где β принимает значения в диапазоне 0<β<1 если вы хотите отдать приоритет точности, а при β>1 приоритет отдается полноте. При β=1 формула сводится к предыдущей и вы получаете сбалансированную F-меру (также ее называют F1). F-мера достигает максимума при максимальной полноте и точности, и близка к нулю, если один из аргументов близок к нулю.

F-мера является хорошим кандидатом на формальную метрику оценки качества классификатора. Она сводит к одному числу две других основополагающих метрики: точность и полноту. Имея в своем распоряжении подобный механизм оценки вам будет гораздо проще принять решение о том являются ли изменения в алгоритме в лучшую сторону или нет.

ROC-кривая

Receiver Operating Characteristics curve (кривая рабочих характеристик). Используется для анализа поведения классификаторов при различных пороговых значениях. Позволяет рассмотреть все пороговые значения для данного классификатора. Показывает долю ложно положительных примеров ( FPR, false positive rate ) в сравнении с долей истинно положительных примеров ( TPR, true positive rate).

 # Код отрисовки ROC-кривой
 sns.set(font_scale=1.5)
 sns.set_color_codes("muted")
 plt.figure(figsize=(10, 8))
 fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_test, lr.predict_proba(X_test)[:,1], pos_label=1)
 lw = 2
 plt.plot(fpr, tpr, lw=lw, label='ROC curve ')
 plt.plot([0, 1], [0, 1])
 plt.xlim([0.0, 1.0])
 plt.ylim([0.0, 1.05])
 plt.xlabel('False Positive Rate')
 plt.ylabel('True Positive Rate')
 plt.title('ROC curve')
 plt.savefig("ROC.png")
 plt.show()

Precison-recall кривая

Чувствительность к соотношению классов. Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм a(x), идеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь плохой алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = 0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма. Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC-ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов относительно общего числа отрицательных. Так, алгоритм b(x), помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-ю, будет иметь AUC-ROC 0.95.

Precison-recall кривая. Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к Precision-Recall кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, только по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс) и точность (по оси ординат). Критерием качества семейства алгоритмов выступает площадь под PR-кривой (AUC-PR)

Оценки качества регрессии

Наиболее типичными мерами качества в задачах регрессии являются

MSE, Mean Squared Error (средняя квадратичная ошибка)

и

MAE, Mean Absolute Error (средняя абсолютная ошибка)

Среднеквадратичный функционал сильнее штрафует за большие отклонения по сравнению со среднеабсолютным, и поэтому более чувствителен к выбросам. При использовании любого из этих двух функционалов может быть полезно проанализировать, какие объекты вносят наибольший вклад в общую ошибку — не исключено, что на этих объектах была допущена ошибка при вычислении признаков или целевой величины.

Среднеквадратичная ошибка подходит для сравнения двух моделей или для контроля качества во время обучения, но не позволяет сделать выводов о том, на сколько хорошо данная модель решает задачу. Например, MSE = 10 является очень плохим показателем, если целевая переменная принимает значения от 0 до 1, и очень хорошим, если целевая переменная лежит в интервале (10000, 100000). В таких ситуациях вместо среднеквадратичной ошибки полезно использовать коэффициент детерминации, или коэффициент R 2

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации измеряет долю дисперсии, объясненную моделью, в общей дисперсии целевой переменной. Фактически, данная мера качества — это нормированная среднеквадратичная ошибка. Если она близка к единице, то модель хорошо объясняет данные, если же она близка к нулю, то прогнозы сопоставимы по качеству с константным предсказанием.

MAPE, Mean Absolute Percentage Error (средняя абсолютная процентная ошибка)

Это коэффициент, не имеющий размерности, с очень простой интерпретацией. Его можно измерять в долях или процентах. Если у вас получилось, например, что MAPE=11.4%, то это говорит о том, что ошибка составила 11,4% от фактических значений. Основная проблема данной ошибки — нестабильность.

RMSE, Root Mean Squared Error (корень из средней квадратичной ошибки)

300px

Примерно такая же проблема, как и в MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня. Но так как MSE дает расчетные единицы измерения в квадрате, то использовать данную ошибку будет немного неправильно.

SMAPE, Symmetric MAPE (симметричная MAPE)

MASE, Mean absolute scaled error (cредняя абсолютная масштабированная ошибка)

Согласно Википедии, является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени. Обратите внимание, что в мы имеем дело с двумя суммами: та, что в числителе, соответствует тестовой выборке, та, что в знаменателе - обучающей. Вторая фактически представляет собой среднюю абсолютную ошибку прогноза по методу Naive. Она же соответствует среднему абсолютному отклонению ряда в первых разностях. Эта величина, по сути, показывает, насколько обучающая выборка предсказуема. Она может быть равна нулю только в том случае, когда все значения в обучающей выборке равны друг другу, что соответствует отсутствию каких-либо изменений в ряде данных, ситуации на практике почти невозможной. Кроме того, если ряд имеет тендецию к росту либо снижению, его первые разности будут колебаться около некоторого фиксированного уровня. В результате этого по разным рядам с разной структурой, знаменатели будут более-менее сопоставимыми. Всё это, конечно же, является очевидными плюсами MASE, так как позволяет складывать разные значения по разным рядам и получать несмещённые оценки.

Но, конечно же, без минусов нельзя. Проблема MASE в том, что её тяжело интерпретировать. Например, MASE=1.21 ни о чём, по сути, не говорит. Это просто означает, что ошибка прогноза оказалась в 1.21 раза выше среднего абсолютного отклонения ряда в первых разностях, и ничего более.

Проблема оценки качества в задаче кластеризации трудноразрешима, как минимум, по двум причинам:

• Теорема невозможности Клейнберга — не существует оптимального алгоритма кластеризации.
• Многие алгоритмы кластеризации не способны определить настоящее количество кластеров в данных. Чаще всего количество кластеров подается на вход алгоритма и подбирается несколькими запусками алгоритма.

Методы оценки качества кластеризации

Метод оценки качества кластеризации — инструментарий для количественной оценки результатов кластеризации.

Принято выделять две группы методов оценки качества кластеризации:

• Внешние (англ. Internal) меры основаны на сравнении результата кластеризации с априори известным разделением на классы.
• Внутренние (англ. External) меры отображают качество кластеризации только по информации в данных.

Внешние меры оценки качества

Данные меры используют дополнительные знания о кластеризуемом множестве: распределение по кластерам, количество кластеров и т.д.

Обозначения

Дано множество [math]S[/math] из [math]n[/math] элементов, разделение на классы [math]X = \{ X_1, X_2, \ldots , X_r \}[/math], и полученное разделение на кластеры [math]Y = \{ Y_1, Y_2, \ldots , Y_s \}[/math], совпадения между [math]X[/math] и [math]Y[/math] могут быть отражены в таблице сопряженности [math]\left[n_{ij}\right][/math], где каждое [math]n_{ij}[/math] обозначает число объектов, входящих как в [math]X_i[/math], так и в [math]Y_j[/math] : [math]n_{ij}=|X_i \cap Y_j|[/math].

[math]\begin{array}{c|cccc|c} {{} \atop X}\!\diagdown\!^Y & Y_1& Y_2& \ldots& Y_s& \text{Sums} \\ \hline X_1& n_{11}& n_{12}& \ldots& n_{1s}& a_1 \\ X_2& n_{21}& n_{22}& \ldots& n_{2s}& a_2 \\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots \\ X_r& n_{r1}& n_{r2}& \ldots& n_{rs}& a_r \\ \hline \text{Sums}& b_1& b_2& \ldots& b_s& n \end{array}[/math]

Пусть [math]p_{ij} = \dfrac{ n_{ij} }{ n }, p_{i} = \dfrac{ a_{i} }{ n }, p_{j} = \dfrac{ b_{j} }{ n } [/math].

Также рассмотрим пары [math](x_i, x_j)[/math] из элементов кластеризуемого множества [math]X[/math]. Подсчитаем количество пар, в которых:

• Элементы принадлежат одному кластеру и одному классу — [math]TP[/math]
• Элементы принадлежат одному кластеру, но разным классам — [math]TN[/math]
• Элементы принадлежат разным кластерам, но одному классу — [math]FP[/math]
• Элементы принадлежат разным кластерам и разным классам — [math]FN[/math]

Индекс Rand

Индекс Rand оценивает, насколько много из тех пар элементов, которые находились в одном классе, и тех пар элементов, которые находились в разных классах, сохранили это состояние после кластеризации алгоритмом.

[math] Rand = \dfrac{TP+FN}{TP+TN+FP+FN} [/math]

Имеет область определения от 0 до 1, где 1 — полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 — отсутствие совпадений.

Индекс Adjusted Rand

[math]\overbrace{ARI}^\text{Adjusted Index} = \frac{ \overbrace{\sum_{ij} \binom{n_{ij}}{2}}^\text{Index} - \overbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}^\text{Expected Index} }{ \underbrace{\frac{1}{2} [\sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_j}{2}]}_\text{Max Index} - \underbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}_\text{Expected Index} }[/math]

где [math]n_{ij}, a_i, b_j[/math] — значения из таблицы сопряженности.

В отличие от обычного индекса Rand, индекс Adjusted Rand может принимать отрицательные значения, если [math]Index \lt Expected Index[/math].

Индекс Жаккара (англ. Jaccard Index)

Индекс Жаккара похож на Индекс Rand, только не учитывает пары элементов находящиеся в разные классах и разных кластерах ([math]FN[/math]).

[math] Jaccard = \dfrac{TP}{TP+TN+FP} [/math]

Имеет область определения от 0 до 1, где 1 — полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 — отсутствие совпадений.

Индекс Фоулкса – Мэллова (англ. Fowlkes-Mallows Index)

Индекс Фоулкса – Мэллова используется для определения сходства между двумя кластерами.

[math] FM = \sqrt{ \dfrac{TP}{TP+TN} \cdot \dfrac{TP}{TP+FP} } [/math]

Более высокое значение индекса означает большее сходство между кластерами. Этот индекс также хорошо работает на зашумленных данных.

Hubert Г statistic

Данная мера отражает среднее расстояние между объектами разных кластеров:

[math] Г = \dfrac{1}{M} \sum \limits_{i=1}^{N-1} \sum \limits_{i=i+1}^{N} P(i, j) \cdot Q(i, j), [/math]

где [math]M = n*(n-1)/2[/math], [math]P(i, j)[/math] — матрица близости, а

[math]Q(i, j) = \begin{cases} 0, & \mbox{если x(i) и x(j) лежат в одном кластере} \\ 1, & \mbox{в другом случае } \\ \end{cases} [/math]

Можно заметить, что два объекта влияют на [math]Г[/math], только если они находятся в разных кластерах.

Чем больше значение меры — тем лучше.

Индекс Phi

Классическая мера корреляции между двумя переменными:

[math] \Phi = \dfrac{ TP \times FN - TN \times FP }{ (TP + TN)(TP + FP)(FN + FP)(FN + TN) } [/math]

Minkowski Score

[math] MS = \dfrac{ \sqrt{ \sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_i}{2} - 2\sum_{ij} \binom{ n_{ij} }{ 2 } } }{ \sqrt{ \sum_j \binom{b_i}{2} } } [/math]

Индекс Гудмэна-Крускала (англ. Goodman-Kruskal Index)

[math] GK = \sum_i p_i(1 - \max_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i }) [/math]

Entropy

Энтропия измеряет "чистоту" меток классов:

[math] E = - \sum_i p_i ( \sum_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } log( \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } ) ) [/math]

Стоит отметить, что если все кластера состоят из объектов одного класса, то энтропия равна 0.

Purity

Чистота ставит в соответствие кластеру самый многочисленный в этом кластере класс.

[math] P = \sum_i p_i ( \max_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } ) [/math]

Чистота находится в интервале [0, 1], причём значение = 1 отвечает оптимальной кластеризации.

F-мера

F-мера представляет собой гармоническое среднее между точностью (precision) и полнотой (recall).

[math] F = \sum_j p_j \max_i \big\lbrack 2 \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } \dfrac{ p_{ij} }{ p_j } \big/ (\dfrac{ p_{ij} }{ p_i } + \dfrac{ p_{ij} }{ p_j }) \big\rbrack [/math]

Variation of Information

Данная мера измеряет количество информации, потерянной и полученной при переходе из одного кластера в другой.

[math] VI = - \sum_i p_i \log p_i - \sum_i p_j log p_j - 2 \sum_i \sum_j p_{ij} \log \dfrac{ p_{ij} }{ p_i p_j } [/math]

Внутренние меры оценки качества

Данные меры оценивают качество структуры кластеров опираясь только непосредственно на нее, не используя внешней информации.

Компактность кластеров (англ. Cluster Cohesion)

Идея данного метода в том, что чем ближе друг к другу находятся объекты внутри кластеров, тем лучше разделение.

Таким образом, необходимо минимизировать внутриклассовое расстояние, например, сумму квадратов отклонений:

[math] WSS = \sum \limits_{j=1}^{M} \sum \limits_{i = 1}^{|C_j|} (x_{ij} - \overline{x_j})^2 [/math], где [math]M[/math] — количество кластеров.

Отделимость кластеров (англ. Cluster Separation)

В данном случае идея противоположная — чем дальше друг от друга находятся объекты разных кластеров, тем лучше.

Поэтому здесь стоит задача максимизации суммы квадратов отклонений:

[math] BSS = n \cdot \sum \limits_{j=1}^{M} (\overline{x_{j}} - \overline{x})^2 [/math], где [math]M[/math] — количество кластеров.

Индекс Данна (англ. Dunn Index)

Индекс Данна имеет множество вариаций, оригинальная версия выглядит следующим образом:

[math] D(C) = \dfrac{ min_{c_k \in C} \{ min_{c_l \in C \setminus c_k} \{ \delta(c_k, c_l) \} \} }{ max_{c_k \in C} \{ \Delta(c_k) \} } [/math],

где:

[math]\delta[/math] — межкластерное расстояние (оценка разделения), [math]\delta(c_k, c_l) = min_{x_i \in c_k, x_j \in c_l} \|x_i - x_j\|[/math],

[math]\Delta(c_k)[/math] — диаметр кластера (оценка сплоченности), [math]\Delta(c_k) = max_{x_i,x_j \in c_k} \|x_i - x_j\|[/math].

Обобщенный Индекс Данна (gD31, gD41, gD51, gD33, gD43, gD53)

Все эти вариации являются комбинациями 3 вариантов вычисления оценки разделения [math]\delta[/math] и оценки компактности [math]\Delta[/math]

Оценки разделения:

[math]\delta^3(c_k, c_l) = \dfrac{1}{|c_k| * |c_l|} \sum_{x_i \in c_k} \sum_{x_j \in c_l} \|x_i - x_j\| [/math],

[math]\delta^4(c_k, c_l) = \|\overline{c_k} - \overline{c_l}\| [/math],

[math]\delta^5(c_k, c_l) = \dfrac{1}{|c_k| + |c_l|} (\sum_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\| + \sum_{x_j \in c_l} \|x_j - \overline{c_l}\|) [/math].

Оценки компактности:

[math]\Delta^1(c_k) = \Delta(c_k) [/math],

[math]\Delta^3(c_k) = \dfrac{2}{|c_k|} \sum_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\| [/math].

Обобщенный индекс Данна, как и обычный, должен возрастать вместе с улучшением качества кластеризации.

Индекс S_Dbw

Основан на вычислении Евклидовой нормы

[math]\ \|x\| = (x^Tx)^(1/2) [/math]

и стандартных отклонений

[math] \sigma(X) = \dfrac{1}{|X|} \sum_{x_i \in X} (x_i - \overline{x}) ^ 2 [/math],

[math] stdev(C) = \dfrac{1}{K}\sqrt{\sum_{c_k \in C} \|\sigma(c_k)\|} [/math].

Сам индекс определяется формулой:

[math] SDbw(C) = \dfrac{1}{K} \sum_{c_k \in C} \dfrac{\|\sigma(c_k)\|}{\|\sigma(X)\|} + \dfrac{1}{K(K-1)} \sum_{c_k \in C} \sum_{c_l \in C \setminus c_k} \dfrac{den(c_k,c_l)}{max(den(c_k),den(c_l))} [/math].

Здесь

[math] den(c_k) = \sum_{x_i \in c_k} f(x_i, \overline{c_k}) [/math],

[math] den(c_k, c_l) = \sum_{x_i \in c_k \cup c_l} f(x_i, \dfrac{\overline{c_k} + \overline{c_l}}{2}) [/math],

[math] f(x_i, c_k) = 0 [/math], если [math] \|x_i - \overline{c_k}\| \gt stdev(C) [/math] и [math]1[/math] в ином случае.

Должен снижаться с улучшением кластеризации.

Силуэт (англ. Silhouette)

Значение силуэта показывает, насколько объект похож на свой кластер по сравнению с другими кластерами.

Оценка для всей кластерной структуры:

[math] Sil(С) = \dfrac{1}{N} \sum_{c_k \in C} \sum_{x_i \in c_k} \dfrac{ b(x_i, c_k) - a(x_i, c_k) }{ max \{ a(x_i, c_k), b(x_i, c_k) \} } [/math],

где:

[math] a(x_i, c_k) = \dfrac{1}{|c_k|} \sum_{x_j \in c_k} \|x_i - x_j\| [/math] — среднее расстояние от [math]x_i \in c_k[/math] до других объектов из кластера [math]c_k[/math] (компактность),

[math] b(x_i, c_k) = min_{c_l \in C \setminus c_k } \{ \dfrac{1}{|c_l|} \sum_{x_j \in c_l} \|x_i - x_j\| \} [/math] — среднее расстояние от [math]x_i \in c_k[/math] до объектов из другого кластера [math]c_l: k \neq l[/math] (отделимость).

Можно заметить, что

[math] -1 \le Sil(C) \le 1 [/math].

Чем ближе данная оценка к 1, тем лучше.

Есть также упрощенная вариация силуэта: [math]a(x_i, c_k)[/math] и [math]b(x_i, c_k)[/math] вычисляются через центры кластеров.

Индекс Calinski–Harabasz

[math] CH(C) = \dfrac{ N-K }{ K-1 } \cdot \dfrac{ \sum_{c_k \in C} |c_k| \cdot \| \overline{c_k} - \overline{X} \| }{ \sum_{c_k \in C} \sum_{ x_i \in c_k } \| x_i - \overline{c_k} \| } [/math]

Компактность основана на расстоянии от точек кластера до их центроидов, а разделимость - на расстоянии от центроид кластеров до глобального центроида. Должен возрастать.

Индекс C

Индекс C представляет собой нормализованную оценку компактности:

[math] CI(C) = \dfrac{ S(C) - S_{min}(C) }{ S_{max}(C) - S_{min}(C)} [/math],

где:

[math] S(C) = \sum \limits_{c_k \in C} \sum \limits_{x_i, x_j \in c_k} \| x_i - x_j \| [/math],

[math]S_{min}(C) (S_{max}(C))[/math] - сумма [math]\dfrac{ |c_k|\cdot(|c_k| - 1) }{2}[/math] минимальных (максимальных) расстояний между парами всех объектов во всем датасете.

Индекс Дэвиcа-Болдуина (англ. Davies–Bouldin Index)

Это, возможно, одна из самых используемых мер оценки качества кластеризации.
Она вычисляет компактность как расстояние от объектов кластера до их центроидов, а отделимость - как расстояние между центроидами.

[math] DB(C) = \dfrac{1}{K} \sum \limits_{c_k \in C} \max \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \Big\{ \dfrac{ S(c_k)+S(c_l) }{ \| \overline{c_k} - \overline{c_l} \| } \Big\} [/math],

где:

[math] S(c_k) = \dfrac{ 1 }{ |c_k| } \sum \limits_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\| [/math]

Существует еще одна вариация данной меры, которая была предложена автором вместе с основной версией:

[math] DB^*(C) = \dfrac{1}{K} \sum \limits_{c_k \in C} \dfrac { \max \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \{ S(c_k)+S(c_l) \} } { \min \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \{ \| \overline{c_k} - \overline{c_l} \| \} } [/math]

C-индекс и индекс Дэвиcа-Болдуина должны минимизироваться для роста кластеризации.

Score function

Индекс, основанный на суммировании. Здесь оценка компактности выражается в дистанции от точек кластера до его центроида, а оценка разделимости — в дистанции от центроидов кластеров до глобального центроида.

[math] SF(C) = 1 - \dfrac{ 1 }{ e^{e^{bcd(C) + wcd(C)}} } [/math],

где:

[math] bcd(C) = \dfrac{ \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \cdot \|\overline{c_k} - \overline{X}\| }{ N \times K } [/math],

[math] wcd(C) = \sum \limits_{c_k \in C} \dfrac{ 1 }{ |c_k| } \sum \limits_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\| [/math]

Чем больше данный индекс, тем выше качество.

Индекс Gamma

[math] G(C) = \dfrac{ \sum_{c_k \in C} \sum_{x_i,x_j \in c_k} |c_k| \cdot dl(x_i, x_j) }{ n_w (\binom{N}{2} - n_w) } [/math]

где:

[math]dl(x_i,x_j)[/math] — число пар [math](x_k, x_l) \in X[/math] таких, что (1) [math]x_k[/math] и [math]x_l[/math] принадлежат разным кластерам, и (2) [math]\|x_k - x_l\| \lt \|x_i - x_j\|[/math],

[math] n_w = \sum_{c_k \in C} \binom{|c_k|}{2} [/math].

Индекс COP

В данной мере компактность вычисляется как расстояние от точек кластера до его центроиды, а разделимость основана на расстоянии до самого отдаленного соседа.

[math] COP(C) = \dfrac{1}{N} \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \dfrac{ 1/|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \| x_i - \overline{c_k} \| }{ \min_{x_i \notin c_k} \max_{x_j \in c_k} \| x_i - x_j\| } [/math].

Индекс CS

Был предложен в области сжатия изображений, но может быть успешно адаптирован для любого другого окружения. Он оценивает компактность по диаметру кластера, а отделимость — как дистанцию между ближайшими элементами двух кластеров.

[math] CS(C) = \dfrac{\sum_{c_k \in C} \{ 1 / |c_k| \sum_{x_i \in c_k} \max_{x_j \in c_k}\{\|x_i - x_j\|\} \}}{\sum_{c_k \in C} \min_{c_l \in C \setminus c_k} \{\|\overline{c_k} - \overline{c_l}\| \}} [/math].

Чем меньше значение данного индекса, тем выше качество кластеризации.

Индекс Sym

[math] Sym(C) = \dfrac {\max_{c_k, c_l \in C} \{\|\overline{c_k} - \overline{c_l}\|\}}{K\sum_{c_k \in C}\sum_{x_i \in c_k} \overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)} [/math].

Здесь [math]\overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)[/math] — дистанция симметрии для точки [math]x_i[/math] из кластера [math]c_k[/math].

Чем выше данное значение, тем лучше.

Индексы SymDB, SymD, Sym33

Модифицируют оценку компактности для индексов Дэвиса-Боулдина, Данна и gD33 соответственно.

SymDB вычисляется аналогично DB с изменением вычисления [math]S[/math] на:

[math] S(c_k) = \dfrac{1}{|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)} [/math].

Данная оценка должна уменьшаться для улучшения качества кластеризации.

В SymD переопределена функция [math]\Delta[/math]:

[math] \Delta(c_k) = \max_{x_i \in c_k} \{\overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)\} [/math].

в Sym33 аналогично SymD переопределена [math]\Delta[/math]:

[math] \Delta(c_k) = \dfrac{2}{|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)} [/math].

Последние две оценки должны расти для улучшения качества кластеризации.

Negentropy increment

В отличие от подавляющего большинства других оценок, не основывается на сравнении компактности и разделимости. Определяется следующим образом:

[math] NI(C) = \dfrac{1}{2} \sum_{c_k \in C} p(c_k)log|cov_{c_k}| - \dfrac{1}{2}log|cov_X| - \sum_{c_k \in C} p(c_k)log p(c_k) [/math].

Здесь [math]p(c_k) = |c_k| / N[/math], [math]|cov_{c_k}|[/math] - определитель ковариационной матрицы кластера [math]c_k[/math], [math]|cov_X|[/math] - определитель ковариационной матрицы всего датасета.

Данная оценка должна уменьшаться пропорционально росту качества кластеризации.

Индекс SV

Одна из самых новых из рассматриваемых в данном разделе оценок. Измеряет разделимость по дистанции между ближайшими точка кластеров, а компактность — по расстоянию от пограничных точек кластера до его центроида.

[math] SV(C) = \dfrac{\sum_{c_k \in C} \min_{c_l \in C \setminus c_k} \{\|\overline{c_k} - \overline{c_l}\|\}}{\sum_{c_k \in C} 10 / |c_k| \sum \max_{x_i \in c_k}(0.1 * |c_k|) * \|\overline{x_i} - \overline{c_k}\|} [/math].

Данная оценка должна увеличиваться.

Индекс OS

Отличается от предыдущей оценки усложненным способом вычисления оценки разделимости.

[math] OS(C) = \dfrac{\sum_{c_k \in C} \sum_{x_i \in c_k} ov(x_i, c_k)}{\sum_{c_k \in C} 10 / |c_k| \sum \max_{x_i \in c_k}(0.1 * |c_k|) * \|\overline{x_i} - \overline{c_k}\|} [/math].

Где

[math] ov(x_i, c_k) = \dfrac{a(x_i, c_k)}{b(x_i, c_k)} [/math].

при [math] \dfrac{b(x_i, c_k) - a(x_i, c_k)}{b(x_i, c_k) + a(x_i, c_k)} \lt 0.4 [/math], и [math]0[/math] в ином случае.

Функции [math]a[/math] и [math]b[/math] определены следующим образом:

[math] a(x_i, c_k) = \dfrac{1}{|c_k|\sum_{x_j \in c_k}\|x_i - x_j\|} [/math].

[math] b(x_i, c_k) = \dfrac{1}{|c_k|\sum_{x_j \notin c_k}\ \min(|c_k)\|x_i - x_j\|} [/math].

Данная оценка, как и предыдущая, должна возрастать.

Сравнение

Не существует лучшего метода оценки качества кластеризации. Однако, в рамках исследования была предпринята попытка сравнить существующие меры на различных данных. Полученные результаты показали, что на искусственных датасетах наилучшим образом себя проявили индексы [math]Silhouette[/math], [math]DB^*[/math] и [math]Calinski-Harabasz[/math]. На реальных датасетах лучше всех показал себя [math]Score-function[/math].

В Таблице 1 приведены оценки сложности мер качества кластеризации ([math]n[/math] — число объектов в рассматриваемом наборе данных):

Таблица 1 — Оценка сложности для 19 мер качества кластеризации.

[math]Davies-Bouldin[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]	[math]CS[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]
[math]Dunn[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]DB^*[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]
[math]Calinski-Harabasz[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]	[math]SF[/math]	[math]O(n)[/math]
[math]Sillhouette[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]Sym[/math]	[math]O(n^2)[/math]
[math]gD31[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]COP[/math]	[math]O(n^2)[/math]
[math]gD41[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]SV[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]
[math]gD51[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]OS[/math]	[math]O(n^2\log{n})[/math]
[math]gD33[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]SDbw[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]
[math]gD43[/math]	[math]O(n^2)[/math]	[math]C-index[/math]	[math]O(n^2\log{n})[/math]
[math]gD53[/math]	[math]O(n\log{n})[/math]

Из всех рассмотренных мер, меры [math]Sym[/math], [math]gD41[/math], [math]OS[/math] и [math]COP[/math] наиболее полно соответствуют когнитивному представлению асессоров о качестве кластеризации.

См. также

• Кластеризация
• Оценка качества в задачах классификации и регрессии^{[на 28.01.19 не создан]}

Источники информации

1. Wikipedia — Category:Clustering criteria
2. Сивоголовко Е. В. Методы оценки качества четкой кластеризации
3. Cluster Validation
4. Halkidi, M., Batistakis, Y., Vazirgiannis, M., 2001. On clustering validation techniques. Journal of intelligent information systems, 17(2-3), pp.107-145.
5. Pal, N.R., Biswas, J., 1997. Cluster validation using graph theoretic concepts. Pattern Recognition, 30(6), pp.847-857.