Определение интеграла Римана, простейшие свойства

Определение:

Пусть есть отрезок [math]\left [ a,b \right ][/math] и некоторое [math] \tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \hdots \lt x_n = b [/math] ([math]\tau[/math] называется разбиением отрезка [math]\left [ a,b \right ][/math]).

Определение:

[math]\Delta_k=x_{k+1}-x_k[/math] длина текущего отрезка разбиения.

Определение:

[math]\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}[/math]

Определение:

Пусть [math]\overline{x_k}[/math] — произвольное [math]x[/math] из [math]\left [ x_k,x_{k+1} \right ][/math], [math]f[/math] — функция, заданная на отрезке [math][a; b][/math], [math]\tau[/math] — разбиение отрезка [math][a; b][/math]. Тогда [math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math] называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].

[math]I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )[/math] [math]\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} [/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau\lt \delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | \lt \varepsilon[/math]

Определение:

Определённым интегралом Римана функции [math]f[/math] называется предел её интегральных сумм, коротко записывается как [math]\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f[/math]

Факт существования интеграла функции [math]f[/math] обозначается как [math]f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )[/math]

Утверждение:

Если [math]f \in \mathcal R\left ( a,b \right )[/math], то [math]f[/math] — ограничена.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1[/math]. Делим [math]\left [ a, b \right ][/math] на [math]n[/math] разных частей, так, чтобы [math]\frac{b-a}{n}\lt \delta [/math] и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков [math]x_n[/math] берём один из них: [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math] и варьируем [math]\overline{x_{k_0}}[/math] в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу. [math]I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}\lt f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}\lt I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}[/math]. Разделим на [math] \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}[/math] на [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math]. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.

[math]\triangleleft[/math]