Три основных теоремы о пределах

Эта статья находится в разработке!

Лекция от 27 сентября 2010.

Определение предела

Теорема Вейерштрасса

Определение:

Последовательность $a \uparrow$ ($a$ возрастает), если $\forall n: a_n \le a_{n+1}$ Последовательность $a \downarrow$ ($a$ убывает), если $\forall n: a_n \ge a_{n+1}$

Определение:

Последовательность $a_n$ ограничена, если $\exists a \in \mathbb R: |a_n| \le a$ $a_n$ — ограничена сверху, если $\exists a \in \mathbb R: a_n \le a$ $a_n$ — ограничена снизу, если $\exists a \in \mathbb R: a_n \ge a$

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть $a_n \uparrow$ и $a_n$ ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если $a_n \downarrow$, $a_n$ — ограничена снизу).

Доказательство:

$\triangleright$

$\exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n$, поскольку $a_n$ — ограничена сверху, и $d$ — конечен, так как $a_n$ — ограничена сверху. По определению $\sup a_n$: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists N: d - \varepsilon \lt a_n$ Так как $a_n \uparrow$, то $\forall n \gt N: a_n \ge a_N$ $d - \varepsilon \lt a_n \Rightarrow d - \varepsilon \le a_n \le d + \varepsilon$ Итак: $\forall \varepsilon \gt 0: \exists N: \forall n \gt N: |d - a_n| \le \varepsilon \Rightarrow d = \lim a_n$

$\triangleleft$

Пример

$a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k}$

$C_n^k = \frac {n!}{k!(n-k)!} = \frac {1}{k!} (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))$

Разделив данное равенство на $n ^ k$, получаем:

$a_n = \sum\limits_{k=0}^n \frac {1}{k!}(1 - \frac 0n)(1 - \frac 1n)...(1-\frac {k-1}{n}) \qquad {(*)}$

$a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac {1}{k!}(1 - \frac {0}{n+1})(1 - \frac {1}{n+1})...(1-\frac {k-1}{n+1})$

Сравнивая эти две суммы, можно заметить, что все слагаемые положительны, и каждое текущее слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого первой суммы, из чего следует, что $a_{n+1} \gt a_n \Rightarrow a_n \uparrow$

Теперь покажем, что $a_n$ ограничена.

$2 = a_1, a_n \uparrow \Rightarrow \forall n \ge 1: a_n \ge 2$

Если вернуться к $(*)$, то видно, что все скобки не превосходят 1:

$a_n \lt \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{k!}$

Пользуясь неравенством $k! \gt 2 ^ {k - 1}$, получаем:

$a_n \lt \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n (\frac 12)^{k-1} \lt 1 + 1 + 1 = 3$ (по формуле геометрической прогрессии: $\sum\limits_{i=1}^n (\frac 12)^k \lt 1$).

$2 \lt a_n \lt 3 \Rightarrow$ По теореме Вейерштрасса, $\exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n$. Его обозначают числом $e$. Также только что мы показали, что $2 \lt e \lt 3$.

Теорема Больцано

Определение:

Если дана последовательность $\{ a_n \}$ и $\varphi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N, \varphi \uparrow$ (строго возрастает), тогда последовательность $b_n = a_{\varphi_(n)}$ называется подпоследовательностью исходной последовательности.

Пример

$b_n = a_{2n} : b_1 = a_2, b_2 = a_4, \dots$

В силу строго возрастания $\varphi \uparrow$, очевидно, что если $a_n \rightarrow k$, то $a_{\varphi(n)} \rightarrow k$. Любая подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Теорема (Больцано):

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство:

$\triangleright$

Применим способ половинного деления, основанный на принципе вложенных отрезков: если строить систему отрезков путем деления предыдущего отрезка пополам, то получится система вложенных отрезков, и так до бесконечности.. Пересечение всех отрезков — 1 точка (по свойству системы вложенных отрезков). Раз $a_n$ ограничена, то $\forall n: a_n \in \Delta_0 = [c, d]$ Делим его пополам, тогда в одной из двух половин этого отрезка будет содержаться бесконечно много $a_n$. Назовем его $\Delta_1, |\Delta_1| = \frac 12 |\Delta_0|$ Далее делим $\Delta_1$ на 2 части и называем $\Delta_2$ ту половину, в которой содержится бесконечно много $a_n$. Продолжаем этот процесс до бесконечности. $\Delta_{n+1} \subset \Delta_n$ $|\Delta_n| \rightarrow 0$ По принципу вложенных отрезков: $\exists !d^*: d^* \in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty} \Delta_n$ $\Delta_n = [c_n, d_n], c_n, d_n \rightarrow d^*$ Построим следующую таблицу: $(a_{00}, a_{01}, a_{02}, \dots) \in \Delta_0$ $(a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots) \in \Delta_1$ $(a_{20}, a_{21}, a_{22}, \dots) \in \Delta_2$ $\dots$ Каждая последующая строчка составляется из предыдущей. Выбирая подпоследовательность так, чтобы номер следующего элемента был строго больше номера предыдущего выбранного элемента в предыдущей строчке. Получили подпоследовательность $b_n$: $c_n \le b_n \le d_n \Rightarrow b_n \rightarrow d^*$ (принцип сжатой переменной) $b_n$ — подпоследовательность $a_n$ и она сходится.

$\triangleleft$

Теорема Коши

Пункт третий связан с одним из фундаментальных свойств числовой оси — полнотой.

Определение:

Последовательность $a_n$ сходится в себе: $\lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} |a_n - a_m| = 0$ $\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb N: \forall n, m \gt N \Rightarrow |a_n - a_m| \lt \varepsilon$

Утверждение:

Если $a_n$ сходится, то $a_n$ сходится в себе.

$\triangleright$

Пусть $a_n \rightarrow a, |a_n - a_m| \lt |a_n - a| + |a_m - a| \lt \varepsilon$, если в определении предела для $a_n \rightarrow a$ положить $\varepsilon ' = \frac {\varepsilon}2$, тогда каждое слагаемое не больше $\frac {\varepsilon}2$.

$\triangleleft$

Теорема (Коши):

Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.

Доказательство:

$\triangleright$

Положим $\varepsilon = 1 \Rightarrow \exists N: \forall n \ge N: |a_n - a_N| \lt 1$. Вне $(a_N - 1, a_N + 1)$ может оказаться самое большее $a_1, a_2, ..., a_{N - 1} \Rightarrow$ последовательность $\{ a_n \}$ — ограничена. Раз она ограничена, по теореме Больцано, в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность. $\exists a_{n_k} \rightarrow a$ при $k \rightarrow \infty (a_{\varphi(n)} = a_{n_k})$. $|a_n - a| \le |a_n - a_{m_k}| + |a_{m_k} - a|$ По сходимости в себе: $\forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall m, n \gt N: |a_n - a_m| \lt \frac {\varepsilon}2$ По сходимости $a_{m_k}: \exists M: \forall k \gt M \Rightarrow |a_{m_k} - a| \lt \frac {\varepsilon}2$ Так как $m_k$ - неограниченно возрастающая последовательность натуральных чисел $\exists k_0 \gt M, m_{k_0} \gt N$, так как $M, N$ заданы. Тогда для такого $k_0$ и всех $N, M : |a_n - a| \le |a_n - a_{m_{k_0}}| + |a_{m_{k_0}} - a| \lt \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$

$\triangleleft$

$\{ a_n \}$ сходится $\iff \{ a_n \}$ сходится в себе.

Такое свойство принято называть полнотой вещественной оси, также — критерий Коши существования предела числовой последовательности.