Участник:Masha

Формула Бержа

Определение:

[math]\mathrm{odd}({G})[/math] — число нечетных компонент связности в графе [math]{G}[/math], где нечетная компонента (англ. odd component) — это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.

Лемма:

[math](n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0 \; [/math], где [math]G[/math] — граф с [math]n[/math] вершинами, [math]S \in {V}_{G}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Удалим из графа [math]G[/math] множество [math]S[/math], получим [math]t[/math] компонент связности, содержащих [math]k_1, k_2 ... k_t[/math] вершин соответственно. [math]|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; [/math], так как в сумме это все вершины исходного графа [math]G[/math]. Возьмем данное равенство по модулю два: [math](|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 \equiv \; n \; (mod \; 2)[/math] В сумме [math]\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)[/math] число единиц равно числу нечетных компонент [math]odd(G \setminus S)[/math]. Таким образом, [math] \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 \; \equiv \; n (\; mod \; 2) \;[/math] Рассмотрим несколько случаев: 1) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; [/math], тогда для любых [math]S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; [/math], следовательно выполнено условие теоремы Татта, значит в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. 2) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; [/math], тогда рассмотрим исходный граф [math]G[/math] и полный граф [math]K_k[/math] с [math]k[/math] вершинами, множество вершин нового графа обозначим как [math]W[/math]. Каждую вершину [math]K_k[/math] соединим с каждой вершиной [math]G[/math]. Получим граф [math]H \; = \; K_k + G \;[/math], докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых [math]S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; [/math]. Рассмотрим [math]S \; \subset \; V_H\;[/math]: Если [math]W \not\subset S[/math], тогда поскольку граф [math]K_k[/math] полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа [math]G[/math], то граф [math]H[/math] связный и [math]odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;[/math] или [math]odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;[/math]. В случае [math]odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; [/math] условие очевидно выполняется, так как [math]\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;[/math]. Рассмотрим случай [math]odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;[/math], [math]|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; [/math], где [math]A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; [/math]. Разность [math]odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; [/math] имеет ту же четность, что и [math]n[/math], поэтому [math]|V_H|[/math] четно, значит, по лемме, мощность [math]S[/math] нечетна, следовательно она не равна нулю, значит [math] 1 \leq |S| [/math]. Если [math]W \subset S \;[/math], то [math]odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; [/math], так как [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; [/math]. Таким образом, для графа [math]H[/math] выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе [math]H[/math], удалим вершины [math]W[/math] из графа [math]H[/math]. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин [math]k[/math], значит [math]def(G) \; \leq \; k[/math]. Удалим множество вершин [math]A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; [/math] из графа [math]G\;[/math]. Заметим, что после удаления в графе осталось [math]odd(G \setminus A)\; [/math] нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на [math]k[/math]. Значит хотя бы [math]k[/math] нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно [math]def(G) \; \geq \; k \; [/math]. Из [math]def(G) \; \leq \; k[/math] и [math]def(G) \; \geq \; k \; [/math] следует [math]def(G) \; = \; k \; [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

— Лекция А.С. Станкевича