Разложение функций в степенные ряды

f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, R > 0 (x_0 - R; x_0 + R).

В силу сказанного ранее, f - бесконечно дифференцируема, все произведения записываются степенными рядами с тем же радиусом сходимости. f^{(p)}(x) = \sum\limits_{n = p}^{\infty} n (n - 1) \dots (n - p + 1) a_n (x - x_0)^{n - p} \forall x из промежутка сходимости.

Подставим x = x_0 f^{(p)}(x_0) = p! a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}

Пусть в определенной точке x_0 задана y = f(x), в точке x_0 существуют производные любого порядка.

\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n - ряд Тейлора функции по степеням (x - x_0).

Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать \forall n. f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow ряд получается из формулы при n = \infty. Если r_n(x) \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty, то можно перейти к пределу. f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k, что является разложением функции в степенной ряд в точке x.

Если при всех x из некоторой окрестности точки x_0 функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора.

Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка r_n(x).

Рассуждение Коши, показывающее, что \exists f \in C^{\infty}, но не разлагаемая в ряд Тейлора. [math]f(x) = \begin{cases}0, x = 0\\e^{-\frac 1{x^2}}, x \ne 0\end{cases}[/math]

Можно убедиться, что все f^{(p)}(x) = 0 \Rightarrow ряд Тейлора по x = 0, хотя функция таковой не является.

Причина объясняется в поле \mathbb{C}.

Приведем классические разложения, некоторые обоснуем. Рассмотрим y = e^x; (e^x)^{(p)} = e^x

e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!} x^k + r_n(x); r_n(x) = \frac{e^{\theta_n x}}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in [0; 1]

Покажем, что \forall x: r_n(x) \xrightarrow[{n \to \infty}] 0

Пусть x > 0 e^{\theta_n x} \le e^x \Rigtharrow |r_n(x)| \le e^x \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \Rightarrow r_n(x) \to 0

Итого, e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} с радиусом сходимости +\infty.

В связи с этими разложением Эйлер совершил революцию в умах.

e = xrightarrow{def} lim_{n \to \infty} (1 + \frac1n)^n

Внезапно, мы решили что lim_{x \to 0} (1 + x)^{frac1n} = e

Эйлер поступил по другом:

Рассмотрим \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac1{n!} x^n : \frac{a_n}{a_{n + 1}} = n + 1 \to +\infty \Rightarrow R = +\infty \Rightarrow у ряда есть сумма, которую обозначают f(x).Далее, f(x), f(y) - пермножим степенные ряды по правилу Коши.