Количество делителей, сумма делителей

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Количество делителей

Определение:

Арифметическая функция [math]~\tau (a) [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа a: [math] ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1 [/math]

Если a и b взаимно просты, то каждый делитель произведения ab может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей a и b, и обратно, каждое такое произведение является делителем ab. Отсюда следует, что функция [math]~\tau[/math] мультипликативна:

[math] ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b) [/math]

Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, то в силу мультипликативности

[math] ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k}) [/math]

Но положительными делителями числа [math]p_i^{\alpha_i}[/math] являются [math]~\alpha_i+1[/math] чисел [math]1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}[/math].

Значит,

[math] ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1) [/math]

Сумма делителей

Определение:

Функция [math]~\sigma (a) [/math] определяется как сумма делителей натурального числа a: [math] ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d [/math]

Функция [math]~\sigma (a) [/math] мультипликативна по тем же соображениям, что и [math]~\tau (a) [/math]

[math] ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b) [/math]