Список заданий по ДМ 2к 2019 весна

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

1. Формальный степенной ряд $\exp(s) = e^s$ определен как $e^s=1+\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2+\frac{1}{3!}s^3+\ldots+\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Логично, что $e^{-s}=1-\frac{1}{1!}s+\frac{1}{2!}s^2-\frac{1}{3!}s^3+\ldots+(-1)^n\frac{1}{n!}s^n+\ldots$. Докажите, используя определение умножения для степенных рядов, что $e^se^{-s}=1$.
2. Формальный степенной ряд $(1+s)^\alpha$ определен как $(1+s)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1}s+\frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2}s^2+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot\ldots\cdot n}s^n+\ldots$. Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
3. Формальный степенной ряд $\ln\left(\frac{1}{1-s}\right)$ определен как $\ln\left(\frac{1}{1-s}\right)=s+\frac{1}{2}s^2+\frac{1}{3}s^3+\ldots+\frac{1}{n}s^n+\ldots$. Докажите, что $\exp\left(\ln\left(\frac{1}{1-s}\right)\right)=(1-s)^{-1}$.
4. Пусть $B(s) = b_1s+b_2s^2+b_3s^3+\ldots+b_ns^n+\ldots$, причем $b_1\ne 0$. Пусть формальные степенные ряды $A(s)$ и $C(s)$ таковы, что $A(B(s)) = s$, $B(C(s))=s$. Докажите, что $A(s)=C(s)$ Этот ряд называется обратным к $B(s)$, обозначается как $B^{-1}(s)$.
5. Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.
6. Докажите, что $(A(s)B(s))' = A'(s)B(s) + A(s)B'(s)$.
7. Докажите, что $\int(A'(s)B(s) + A(s)B'(s)) = A(s)B(s) - A(0)B(0)$.
8. Найдите производящую функцию для последовательности $0 \cdot 1, 1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, (n - 1) \cdot n, \ldots$.
9. Найдите производящую функцию для последовательности $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2, \ldots$.
10. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0 + a_1, a_1 + a_2, \ldots, a_k+a_{k+1}$
11. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i=0}^ka_i,\ldots$
12. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_1b, a_2b^2, \ldots, a_kb^k, \ldots$
13. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, 0, a_1, 0, a_2, 0, a_3 \ldots$
14. Последовательность $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$ имеет производящую функцию $A(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+\ldots$. Найдите производящую функцию последовательности $a_0, a_2, a_4, a_6 \ldots$
15. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
16. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
17. Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ доминошками и единичными клетками.
18. Найдите производящую функцию для замощений прямоугольника $2\times n$ уголками (квадратами $2\times 2$ с вырезанной одной клеткой) и единичными клетками.
19. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
20. Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
21. Найдите производящую функцию для чисел "трибоначчи" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
22. Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
23. Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
24. Последовательность $2, -6, 12, \ldots, (-1)^k(k+1)(k+2),\ldots$
25. Последовательность $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots, k^2,\ldots$
26. Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
27. Последовательность $0, 1, 2^s, 3^s, 4^s, 5^s, \ldots, k^s,\ldots$ для константного целого $s>0$
28. Последовательность $1, -4, 9, -16, \ldots, (-1)^k(k+1)^2,\ldots$
29. Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, F_k^2,\ldots$
30. Найдите производящую функцию для чисел Каталана.
31. Путь Моцкина - путь, начинающийся в точке $(0, 0)$, составленный из векторов $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(1, -1)$, не опускающийся ниже оси $OX$ и заканчивающийся в точке $(n, 0)$. Напишите рекуррентное соотношение для числа путей Моцкина, найдите производящую функцию для числа таких путей.
32. Рассмотрим множество путей на прямой, начинающихся в 0, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Будем называть такой путь блужданием. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0.
33. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в 0 и не заходящих в отрицательную полупрямую.
34. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
35. Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
36. Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0 = 2$, $a_n = a_{n-1}^2$.
37. Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0 = 2$, $a_n = a_{n-1}^3$.
38. Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0=a_1= 2$, $a_n = a_{n-1}\cdot a_{n - 2}$.
39. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
40. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
41. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 4a_{n-1}-4a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
42. Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
43. Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
44. Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
45. Используя результат из предыдушего задания, докажите, что формальный степенной ряд $\ln\left(\frac{1}{1-s}\right)=s+\frac{1}{2}s^2+\frac{1}{3}s^3+\ldots+\frac{1}{n}s^n+\ldots$ не представим в виде отношения двух полиномов.
46. Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
47. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
48. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
49. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
50. Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
51. Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
52. Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^k(A)$ множество последовательностей длины $k$, каждый элемент которого является последовательностью из $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^k(A)$.
53. Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^{\le k}(A)$ множество последовательностей длины не большей $k$, каждый элемент которого является последовательностью из не более чем $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^{\le k}(A)$.
54. Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^{\ge k}(A)$ множество последовательностей длины не меньшей $k$, каждый элемент которого является последовательностью из не менее чем $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^{\ge k}(A)$.
55. Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
56. Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
57. Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
58. Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
59. Экспоненциальная производящая функция для целочисленной последовательности называется функцией Гурвица. Докажите, что сумма, произведение, интеграл и производная функции Гурвица является функцией Гурвица.
60. Докажите, что результат подстановки функции Гурвица в функцию Гурвица является функцией Гурвица
61. Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
62. Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
63. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
64. Сюрьекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюрьекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
65. Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
66. Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Для произвольных подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $e^{e^z-1}$. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
67. Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
68. Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
69. Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
70. Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
71. Найдите производящую функцию для слов над $m$-буквенным алфавитом (вес каждой буквы равен 1, слова равен его длине).
72. Обозначим как $W$ множество слов над алфавитом $\{a, b\}$. Осознайте, что $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство для производящих функций.
73. Обозначим как $W^{(k)}$ множество слов над алфавитом $\{a, b\}$, не содержащих $k$ букв $a$ подряд. Запишите $W^{(k)}$ через $Seq_T$ и $\times$. Найдите производящую функцию для $W^{(k)}$.
74. Обобщите задание 72 на произвольный алфавит.
75. Обобщите задание 73 на произвольный алфавит.
76. Неявное задание КО. Пусть $A$, $B$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $B \cap X = \varnothing$, $A = B \cup X$. Пусть производящие функции для $A$ и $B$ - $A(t)$ и $B(t)$, соответственно. Найдите производящую функцию $X(t)$.
77. Неявное задание КО 2. Пусть $A$, $B$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = B \times X$. Пусть производящие функции для $A$ и $B$ - $A(t)$ и $B(t)$, соответственно. Найдите производящую функцию $X(t)$.
78. Неявное задание КО 3. Пусть $A$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = Seq(X)$. Пусть производящая функция для $A$ - $A(t)$. Найдите производящую функцию $X(t)$.
79. Неявное задание КО 4. Пусть $A$ и $X$ - семейства комбинаторных объектов, причем $A = MSet(X)$. Пусть производящая функция для $A$ - $A(t)$. Найдите производящую функцию $X(t)$.
80. Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.
81. Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.
82. Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
83. Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
84. Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
85. Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
86. Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
87. Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
88. Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
89. Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
90. В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
91. Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
92. Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
93. Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
94. Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
95. Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
96. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
97. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
98. Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
99. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
100. Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
101. Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
102. Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
103. Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности (суммы по модулю 2) трёх перечислимых множеств.
104. Докажите, что множество $\langle p \rangle$ программ, останавливающихся на своём собсвтенном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
105. Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
106. Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
107. Множество $U \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $U$, то есть множество $V = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in U)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in U$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
108. В предыдущем задании можно ли утверждать, что $V$ перечислимо, если $U$ перечислимо?
109. Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
110. Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
111. Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
112. Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
113. Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
114. Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
115. Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
116. Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
117. Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
118. Рассмотрим два множества $A$ и $B$. Назовём их вычислимо изоморфными, если существует всюду определенная вычислимая биекция $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такая что $x \in A$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x) \in B$. Приведите пример различных бесконечных вычислимо изоморфных множеств.
119. Докажите или опровергните, что любые два бесконечных разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
120. Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
121. Множество $A$ называется m-сводимым к $B$, если существует вычислимая всюду определенная функция $f$, для которой $x \in A$ тогда и только тогда, когда $f(x) \in B$. Пишут $A \le_m B$. Докажите, что если $A$ неразрешимо и $A \le_m B$, то $B$ неразрешимо.
122. Докажите, что если $A$ неперечислимо и $A \le_m B$, то $B$ неперечислимо.
123. Верно ли, что для любого непустого $A$ с непустым дополнением выполнено $A \le_m \mathbb{N} \setminus A$?
124. Пусть $A$ перечислимо и $\mathbb{N} \setminus A \le_m A$. Что можно сказать про $A$?
125. Пусть $A$ перечислимо и $A \le_m \mathbb{N} \setminus A$. Что можно сказать про $A$?
126. Существует ли множество натуральных чисел $A$, к которому m-сводится любой множество натуральных чисел?
127. Множество называется m-полным, если к нему m-сводится любое перечислимое множество. Докажите, что универсальное множество является $m$-полным.
128. Докажите, что диагональ универсального множества (множество $\{u | (u, u) \in U\}$ является m-полным.
129. Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
130. Докажите, что проверка грамматики на однозначность является неразрешимой проблемой. Указание: сведите к ней или её дополнению проблему соответствий Поста, используя конструкцию языка списка из предыдущего задания.
131. Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
132. Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
133. Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
134. Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
135. Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
136. Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
137. Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
138. Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
139. Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
140. Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
141. Рассмотрим абстрактный вычислитель "автомат с очередью" - по аналогии с автоматом с магазинной памятью, но вместо стека очередь. На переходе автомат извлекает первый символ из головы очереди, смотрит очередной символ на ленте и текущее состояние, переходит в новое состояние и добавляет в конец очереди произвольную строку. Докажите, что автомат с очередью может распознать любой перечислимый язык (указание: просимулируйте на автомате с очередью автомат с двумя стеками).
142. Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
143. Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
144. Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
145. Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
146. Множество $A$ назвается эффективно бесконечным, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по числу $n$ выводит $n$ различных элементов множества $A$. Докажите, что если множество $A$ содержит бесконечное перечислимое подмножество, то оно эффективно бесконечно.
147. Докажите, что если множество $A$ эффективно бесконечно, то оно содержит бесконечное перечислимое подмножество.
148. Обозначим как $L(p)$ множество слов, которые допускается программой $p$. Множество $A$ назвается эффективно неперечислимым, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по программе $p$ указывает слово $x$, такое что $x \in L(p) \oplus A$. Докажите, что дополнение к диагонали универсального множества $\overline D$, где $D = \left\{p | \langle p, p\rangle \in U\right\}$, является эффективно неперечислимым.
149. Докажите, что дополнение к универсальному множеству $\overline U$ является эффективно неперечислимым.
150. Докажите, что любое эффективно неперечислимое множество является эффективно бесконечным.
151. Множество $A$ называется иммунным, если оно бесконечно, но не является эффективно бесконечным. Множество называется простым, если оно перечислимо, а его дополнение иммунно. Докажите, что существует простое множество. Указание: рассмотрите множество $T = \left\{\langle p, x\rangle | p(x) = 1, x > 2p\right\}$.
152. Докажите, что множество является иммунным тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных разрешимых подмножеств.
153. Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cup Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
154. Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
155. Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.