Вещественные числа

Натуральные числа

Множество натуральных чисел [math] \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}[/math] определяется следующим образом:

За числом [math]n[/math] в натуральном ряде непосредственно следует [math]n + 1[/math], между [math]n[/math] и [math]n + 1[/math] других [math] k \in \mathbb N [/math] нет.

Гильберт:

Натуральные числа — первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.

Целые числа

Множество целых чисел [math] \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} [/math]. Также [math] \mathbb N \subset \mathbb Z [/math]

Рациональные числа

Множество рациональных чисел [math] \mathbb Q = \{\frac mn | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \} [/math]

Множество рациональных чисел упорядочено, то есть всегда выполняется только один из трех случаев: [math] r \lt q, r = q[/math] или [math] r \gt q [/math]

Модуль

Определение:

[math] |x| = \begin{cases} x, & x \gt 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases} [/math] — модуль или абсолютная величина числа x

Свойства модуля:

1. [math]|ab| = |a||b|[/math]
2. [math]|x + y| \le |x| + |y|[/math]
3. [math]|x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r[/math]

Аксиома Архимеда

В множестве [math] \mathbb Q [/math] выполняется аксиома Архимеда:

[math] 0 \lt r \lt q \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\ \exists n \in \mathbb N : q \lt n \cdot r [/math]

Дополнение множества рациональных чисел

Пусть [math]A, B[/math] — два числовых множества.

Определение:

Запись [math]A \lt B[/math] означает, что [math] \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a \lt b [/math].

Аналогично определяются записи типа [math] A \le B [/math], и т. д. и т. п.

Если [math] B = \{b\}[/math], то запись [math] A \lt b [/math] означает, что [math] A \lt B [/math].

Неполнота числовой оси

Утверждение:

Пусть [math] A = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \lt 2\} \\ B = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \gt 2\} [/math] Тогда [math] \nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B [/math]

[math]\triangleright[/math]

Допустим, что такое [math]d[/math] существует и [math] d \in \mathbb Q [/math]. Тогда возможны три случая: [math] d^2 \lt 2,\ d^2 = 2,\ d^2 \gt 2[/math] Случай [math] d^2=2 [/math] невозможен. Докажем это. Предположим, что [math] d^2=2;\ d\in \mathbb Q [/math], Значит число [math]d[/math] можно представить в виде несократимой дроби [math] d = \frac mn[/math]. Тогда: [math] d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ [/math] 2 - простое, значит [math]m[/math] делится на [math]2[/math] [math] m = 2p,\, 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\, n\:\vdots\:2[/math], противоречие. Возможны два случая: либо [math] d^2 \lt 2 [/math], либо [math] d^2 \gt 2 [/math]. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом 1) Для всех рациональных [math] \delta \in (0; 1): [/math] [math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \\ \delta^2 \lt \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 \lt d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta [/math] Заметим, что если [math] \delta \lt \frac{2 - d^2}{2d+1}[/math], то [math]d^2 + (2d+1)\delta \lt 2 ,\, d^2 \lt 2,\, 2 - d^2 \gt 0 \Rightarrow \delta \gt 0 [/math] [math] \delta_0 \in \mathbb Q; \delta_0 = \min{(\frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1})} \in (0; 1) [/math]; Для такого [math] \delta_0: (d + \delta_0)^2 \lt 2 \Rightarrow (d + \delta_0) \in A [/math] По предположению, [math] A \le d \rightarrow d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 [/math], противоречие. 2) Пусть [math] d^2 \gt 2 [/math] Для всех рациональных [math] \delta \in (-1; 0): [/math] [math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \gt d^2 + 2d\delta + \delta[/math] При [math] \delta \gt \frac{2 - d^2}{2d + 1}, d^2 + 2d\delta + \delta \gt 2, d^2 \gt 2 [/math] , тогда [math] 2 - d^2 \lt 0 \Rightarrow \delta \lt 0 [/math] Рассмотрим [math] \delta_0 \in \mathbb{Q}: \delta_0 = \max{(-\frac13, \frac{2 - d^2}{2d + 1})} \in (-1; 0) [/math] , тогда [math] (d + \delta)^2 \gt 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B [/math] [math] B \ge d \rightarrow d + \delta_0 \ge d \rightarrow \delta_0 \ge 0 [/math], пришли к противоречию.

[math]\triangleleft[/math]

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел. Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:

1. 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
2. Сохранение упорядоченности.
3. Выполнение аксиомы непрерывности:

Пусть [math]A [/math] и [math]B [/math] — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math], то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

Получим множество, называемое множеством вещественных чисел — [math] \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R [/math].

Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.

Для анализа важно то, что для [math] \mathbb R [/math] выполняется аксиома непрерывности.

Существует несколько моделей построения [math] \mathbb R [/math] :

1. Модель Дедекинда
2. Модель Вейерштрасса
3. Модель Кантора

Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что [math] \mathbb Q [/math] всюду плотно на [math] \mathbb R [/math]:

В любом вещественном интервале [math] (a, b) : (x: a \lt x \lt b) [/math] найдется рациональное число.

Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения [math] \mathbb Q [/math] для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.