Локальная теорема о неявном отображении

Принцип сжатия Банаха

Принцип сжатия будем излагать для нормированных пространств, хотя он без изменения переносится на метрические пространства.

Определение:

Пусть [math]X[/math] — B-пространство. Пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math]. [math] \mathcal{T} : \overline V \to \overline V[/math] — сжатие на шаре [math]V[/math], если [math]\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V[/math] [math] : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|[/math].

Теорема (Банах):

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка [math]x^*=\mathcal{T}x^*[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall x_0 \in \overline V:\ x_{n+1}=\mathcal{T}x_n[/math]. Тогда [math]\|x_{n+1}-x_n\| = \|\mathcal{T}x_n-\mathcal{T}x_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\| \leq \ldots \leq q^n \|x_1-x_0\|[/math] Рассмотрим ряд [math]x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math] Выкинем первое слагаемое и замажорируем этот ряд геометрической прогрессией. [math]\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k[/math], [math]0\lt q\lt 1[/math]. Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим [math]S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math]. [math]S_n=x_{n+1}[/math]. Если [math] S_n \to S[/math], то [math]x_n \to S[/math]. Но любое сжатие непрерывно(так как оно ограничено). Это позволяет в [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] перейти к пределу — [math]S=TS[/math]. Получили неподвижную точку [math] S [/math]. Допустим теперь, что существуют две различных неподвижных точки: Если [math]Tx'=x', Tx''=x''[/math], то составим норму их разности: [math]\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|[/math] и при [math]\|x''-x'\| \ne 0[/math] [math]q \ge 1[/math], что противоречит условию. Поэтому [math]\|x''-x' \|= 0[/math], следовательно, [math]x''=x'[/math].

[math]\triangleleft[/math]

2

Пусть [math]\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m[/math], тогда рассмотрим [math]V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}[/math].

[math]f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m[/math], [math]f(x_0,y_0)=0^m[/math]. Существуют ли такие [math]\delta_1,\delta_2\gt 0[/math], что для любого [math]\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})[/math] существует единственный [math] \overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m[/math]?

Если это так, то, в силу единственности y, определяем [math]\overline y = \phi(\overline x)[/math] на [math]V_{\delta_1}(\overline{x_0})[/math] так, чтобы [math]f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m[/math]. [math]\phi[/math] — неявное отображение, определяется как [math]f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m[/math]

Пример, единичная окружность:

[math]x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1.~f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1[/math]

В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через [math]x[/math], будет давать соответствующий единственный [math]y[/math]. Если решать задачу вне окрестности [math]y_0[/math], получится 2 [math]y[/math], теряется единственность [math]y[/math]. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. [math]y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}[/math].

Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:

[math]\overline z = f(\overline x,\overline y).~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in \mathbb R^m.~f_{\overline y}'[/math] — производная отображения [math]f[/math], при фиксированном [math]x[/math] и варьирующемся [math]y[/math].

[math]f_{\overline y}'[/math] зависит и от [math]\overline x[/math], и от [math]\overline y[/math]. [math]f_{\overline y}'[/math] — линейный оператор, поэтому непрерывность [math]f_{\overline y}'[/math] понимается в метрике линейного оператора:

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|\lt \delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|\lt \varepsilon[/math]

[math]f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)[/math] — матрица, размером [math]m\times m[/math]. Оператор непрерывно обратим в [math](\overline x,\overline y) [/math], то есть, у матрицы этого оператора существует обратная (её детерминант не равен нулю).

Теорема (О неявном отображении):

Пусть для [math]f[/math] поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными [math](x_0,y_0)[/math]. Известно, что в окрестности начальных данных[math]f_{\overline y}'[/math] непрерывно зависит от [math]\overline x,\overline y[/math] и непрерывно обратима в [math](x_0,y_0)[/math]. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбиваем на 2 этапа (и на экзамене они тоже будут спрашиваться по отдельности): 1 этап: Пусть [math]\Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}[/math] Промежуточное утверждение: [math]f(\overline x, \overline y)=0^m \Longleftrightarrow\ \overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math]. Проверим равносильность: [math] \Longrightarrow [/math] Пусть [math]f(\overline x, \overline y) = 0[/math]. [math]\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y[/math] — верное в любом случае уравнение. [math] \Longleftarrow [/math] Пусть теперь [math]\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math]. Тогда [math]\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}[/math], следовательно, [math]det \Gamma_0 \ne 0[/math], поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и [math]f(\overline x, \overline y)=0^m[/math] Пусть [math]T(\overline x, \overline y)=\overline y-\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math], тогда [math]\overline y = T(\overline x,\overline y)[/math]. Для фиксированного [math] x [/math] получаем задачу на неподвижную точку для отображения [math]T[/math] по переменной [math]\overline y[/math] для фиксированного. Воспользуемся для решения принципом сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия? [math]T'=J-\Gamma_0f_y';~\Gamma_0f_y'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J[/math]. Значит, [math]T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0[/math]. По условию, [math]f[/math] зависит от [math]\overline x, \overline y[/math], следовательно, [math]T'[/math] — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем [math] \varepsilon=\frac 12,\exists \delta\gt 0 [/math] [math] \|\overline{\mathcal 4 x}\|,\|\overline{\mathcal 4 y}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12[/math] Возьмем [math]V_{\delta}(\overline{x_0}),\ W_{\delta}(\overline{y_0})[/math] такие, что при [math]T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})[/math] По неравенству Лагранжа [math]\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in \{y',y''\}}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|[/math]. Но по выбору шаров этот [math]\sup \le \frac 12[/math] и, таким образом, в наших условиях [math]\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|[/math]. 2 этап: На первом этапе найден коэффициент сжатия: [math]\frac 12[/math]. Если проверить для [math]T[/math] условия теоремы Банаха по [math]\overline y[/math] в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у [math]T[/math] окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения и теорема будет доказана. [math]\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0})[/math] [math]\overline{y_0}=T(\overline{x_0},\overline{y_0})[/math] ([math]x_0,y_0[/math] — начальные данные). Тогда: [math] \|T(\overline x,\overline y)-y_0\|=\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\| = [/math] [math] = \|(T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0}))+(T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0}))\| \le [/math] [math] \le\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0})\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\le [/math] [math] \le \frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|[/math] По непрерывности, [math]T[/math] вторая норма разности стремится к 0 при [math] \overline x \rightarrow \overline {x_0} [/math]. Полагая в определении непрерывности [math]\varepsilon=\frac{\delta}2[/math] ([math]\delta[/math] у нас уже было выбрано), подбираем [math]\delta':0\lt \delta'\lt \delta[/math], так, чтобы [math]\|\overline x - \overline{x_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0})\|\le\frac{\delta}2[/math]. [math]\delta'[/math] не зависит от [math]y[/math]! [math]\forall \overline x\in V_{\delta'}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|T(x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:T(x,y)\in W_{\delta}(\overline{y_0})[/math] [math]\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})[/math] является сжатием с [math]q=\frac 12[/math]. Значит, по теореме Банаха [math]\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m[/math]. В силу единственности такой точки, неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!

[math]\triangleleft[/math]

Приведем пример использования неявного отображения.

Дана система уравнений:

[math]\begin{cases} f(x,y,\alpha)=0\\ g(x,y,\alpha)=0 \end{cases}[/math]

Если существуют [math](x_0,y_0,\alpha_0)[/math], такие, что

[math]\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases}[/math]

А также

[math]\begin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0[/math],

и указанные выше частные производные непрерывны, то, по только что доказанной теореме, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»:

[math]\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};[/math]

при некоторых [math]\delta \gt 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|\lt 0[/math], [math]\forall\alpha[/math] будет иметь единственное решение по переменным [math]\overline x,\overline y[/math]. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно.

Важное следствие

Теорема:

Пусть [math]\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0[/math]. Тогда это отображение в окрестности [math] \overline {x_0} [/math] локально обратимо.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \overline y = T(\overline x),\overline {y_0} = T(\overline {x_0})[/math]. Чтобы обратить [math]T[/math], надо в первом равенстве полагать [math]x[/math] неизвестным, а [math]y[/math] — заданным. Мы хотим доказать, что решение у такого уравнения обязательно будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). Рассмотрим [math]f(\overline x, \overline y)=\overline y - T(\overline x),f(\overline x, \overline y)=0^n[/math] [math]T^{-1}[/math] — неявное отображение. Локальная обратимость [math]T[/math] определена непрерывностью [math]T[/math], непрерывностью соответствующих частных производных и тем фактом, что [math]f'_{\overline x}(\overline x,\overline y)=-T'(x). [/math] [math] det(T'(\overline {x_0}))\ne 0\Rightarrow det(f'_{\overline x}(\overline {x_0})) \ne 0 \Rightarrow[/math] условия теоремы о неявном отображении выполнены, и [math] T [/math] локально обратимо.

[math]\triangleleft[/math]

То, что мы установили — нетривиальное обобщение стандартного одномерного факта:

Пусть [math]y=f(x),f'(x_0)\ne 0,f'(x)[/math] — непрерывна.

Если [math]f'(x_0)\gt 0 \Rightarrow \exists \delta \gt 0: |x-x_0|\le \delta \Rightarrow f'(x)\gt 0[/math].

Тогда на отрезке [math][x_0-\delta;x_0+\delta]~f[/math] возрастает, и у неё существует обратная функция.

Задача об условном экстремуме

Ещё одним возможным приложением неявных отображений может служить задача об условном экстремуме.

[math]z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)[/math]. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:

[math]\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\ g_2(\overline x,\overline y)=0\\ \dots\\ g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};[/math]

[math](\overline{x_0},\overline{y_0})[/math] — условный максимум функции [math]f[/math], если для всех [math]\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}[/math] и [math](\overline x,\overline y)[/math], удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство [math]f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})[/math]. Если же [math]f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})[/math] — условный минимум.

Пример: пусть на сфере есть две точки, A и B. Тогда кратчайшее расстояние между ними — отрезок. Он будет безусловным экстремумом. Но кратчайшее расстояние между ними вдоль сферы — дуга. Это будет условным экстремумом, так как есть уравнения связи.

Для того, чтобы формулировка оказалась математически корректной, надо, чтобы из системы уравнений связи [math]\overline y[/math] могла выражаться через [math]\overline x[/math] в некоторой окрестности [math](\overline {x_0},\overline {y_0})[/math]. Очевидно, что уравнения связи можно рассмотреть как задачу о неявном отображении. Тогда все [math] g_i [/math], как и их частные производные — непрерывны. Соответственно, матрица Якоби должна быть обратимой.

[math]\overline y=\phi(\overline x),\ \overline z=f(\overline x,\phi(\overline x))[/math]. Мы получили задачу на безусловный экстреммум для [math]\overline z[/math]. Т.к. практически неявно отображающую формулу не найти, то можно пытаться составлять некоторую систему соотношения для точек, подобранных для условного экстремума, исходя из инвариантности дифференциалов n-го порядка. По этой инвариантности необходимые условия экстремума:

[math]dz=0[/math]

[math]\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta f}{\delta x_j}(\overline x,\overline y)dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta f}{\delta y_i}(\overline x,\overline y)dy_i\equiv 0\qquad (*)[/math]

Но так как [math]\overline y=\phi(\overline x)[/math], то, в отличие от безусловного экстремума, в котором мы могли бы все частные производные приравнять к нулю и получить систему, мы так решать не можем, ибо [math]dy_i[/math] зависит от [math]dx_1,\dots dx_n[/math]. Но, в отличие от [math]\phi[/math], эту зависимость можно найти явно. У нас должны выполняться следующие условия:

[math]g_k(\overline x,\overline y)=0, k=\overline{1,m}[/math]

[math]\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta g_k}{\delta x_j}dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta g_k}{\delta y_i}dy_i\equiv 0[/math]

В результате мы получаем СЛАУ для зависимости дифференциалов. Её матрицей будет матрица Якоби [math]g'_{\overline y}(\overline x,\overline y)[/math]. Раз она обратима в [math](x_0,y_0)[/math], то по непрерывности она будет обратима в окрестности этой точки, следовательно, [math]dy[/math] можно выразить через [math]dx[/math], формулы будут линейны.

[math]dy_1=\sum\limits_{j=1}^n A_{1j}dx_j[/math]. Тогда, подставляя эти форулы в [math](*)[/math], получим [math]\sum\limits_{j=1}^m B_j dx_j=0 \Rightarrow B_j=0[/math].

Мы получили систему уравнений для полученных точек, похожих на условный экстремум; которую надо решать вместе с уравнениями связи.

На самом деле, этому можно придать более удобную форму, придуманную Лагранжем (метод множителей Лагранжа) (но математической новизны в нём нет!)

Метод множителей Лагранжа:

[math]F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).[/math] Далее составляем систему соотношений так, будто для [math]F[/math] мы стали искать безусловный экстремум:

[math]\begin{cases} \frac {\delta F}{\delta x_j}=0\\ \frac {\delta F}{\delta y_i}=0\\ \frac {\delta F}{\delta \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};[/math]

Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна.