Формула Тейлора для функций многих переменных

Как ранее было установлено, для функции одной переменной [math]y = f(x), x \in \mathbb{R} [/math] выполняется следующее:

[math]f(x) =\sum \limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/math]

[math] f(x) = f(x_0) + \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} [/math]

[math] f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} [/math]

[math]\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)[/math]

[math]d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x^k[/math]

[math]\Delta f(x_0,\Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,\Delta x)[/math]

Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: [math]x_0[/math] переходит в [math]\overline {x_0}[/math], а [math]\Delta x[/math] — в [math]\Delta \overline x[/math], но сначала нужно дополнить наши теоретические построения.

Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.

[math]\frac \partial{\partial x_j}[/math] — оператор, дифференцирующий функцию по [math]x_j[/math]. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть [math]z = f(x,y)[/math]. Тогда [math]\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/math] — частная производная второго порядка функции [math]f[/math]. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.

В каком случае [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/math]?

Докажем теорему, отвечающую на этот вопрос для функции двух переменных, для функции n переменных можно поступить аналогично.

Теорема (О смешанных производных):

Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]\overline a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Delta_x f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)[/math] [math]\Delta_y f=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)[/math] [math]\Delta_x \Delta_y f=\Delta_x (f(x,y+\Delta y)-f(x,y))=(f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y))-(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))[/math] Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим [math]\Delta_x \Delta_y f=\Delta_y \Delta_x f[/math]. Введём функцию: [math]g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)[/math] [math]\Delta _x \Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta \Delta x)\Delta x[/math] [math]g'(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(t,y+\Delta y)-\frac {\partial f}{\partial x}(t,y)[/math] [math]\Delta _x \Delta _y f=\left ( \frac {\partial f}{\partial x} ( x + \theta_1 \Delta x,y+\Delta y ) - \frac {\partial f}{\partial x}( x + \theta_1 \Delta x,y) \right )\Delta x[/math] Введем функцию: [math]h(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,t)[/math] [math]\Delta _x \Delta _y f=(h(y+\Delta y)-h(y))\Delta x=h'(y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y[/math] [math]h'(t)=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,t)[/math] [math]\Delta _x \Delta _y f=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y[/math] Аналогично: [math]\Delta _y \Delta _x f=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x+\theta_3\Delta x,y+\theta_4 \Delta y) \Delta x \Delta y[/math] Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим [math]\overline a = (a,b)[/math]: [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+\theta_1\Delta a,b+\theta_2 \Delta b) \Delta a \Delta b=\frac {\partial^2 f}{\partial b \partial a}(a+\theta_3\Delta a,b+\theta_4 \Delta b) \Delta a \Delta b~~\forall \Delta a,\Delta b.[/math] [math]\theta_i \in (0,1)[/math] В [math]\overline a[/math] оба выражения непрерывны. Устремим [math]\Delta a,\Delta b \to 0[/math] и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до [math]p[/math]-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: [math]\frac {\partial^{10} f}{\partial x^7 \partial y^3}=\frac {\partial^{10} f}{\partial y^3 \partial x^7}[/math], например.

Определение дифференциалов высших порядков:

[math]d^{n+1}f(\overline x, \Delta \overline x)[/math][math]=d(d^n f (\overline x, \Delta \overline x))[/math]
[math]d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x + \frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)[/math][math]=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2[/math]. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть [math]dx=\Delta x[/math], [math]dy=\Delta y[/math]: [math]x=a+bt[/math], [math]dx=bdt[/math]

[math]g(t)=f(a+bt,c+dt)[/math]

[math]dg=g'(t)dt=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dt)ddt[/math][math]=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)dx+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dt)dy=\frac{\partial f}{\partial x}[/math]

При линейной замене переменных дифференциал первого порядка инвариантен (да и n-го тоже).

[math]g(t)=f(a+bt,c+mt)[/math]

[math]d^n g=d^n f[/math], [math]dx=bdt,dy=mdt[/math].

Формула Тейлора

Рассмотрим пару [math](\overline a, \overline b)[/math]: [math]\overline b - \overline a = \Delta \overline a[/math]

[math]g(t)=f(\overline a+t\Delta \overline a)[/math]

[math]g(1)-g(0)=f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)[/math]

[math]g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)[/math]

Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить [math] f [/math] обратно, тогда получим:

[math]f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}[/math] — формула Тейлора для функции многих переменных.

В частности, при [math]n = 1[/math]:

[math]f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j[/math]