Сходимость по мере
НЕТ ВОЙНЕ |
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России |
Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению. |
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки. |
Пусть функции
— измеримы на , множества , где , измеримы.
Определение: |
стремятся по мере на к ( ), если |
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
Теорема Лебега
Теорема (Лебег): |
, почти всюду на . Тогда . |
Доказательство: |
Как мы выяснили ранее, удобно рассматривать ; по условию теоремы, .Пусть , тогда , очевидно, содержится в , поэтому, по полноте меры, .
Покажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: .Для этого воспользуемся тем, что — конечен.Так как , то (здесь под имеется в виду дополнение до ).— убывающая ( ), значит, дополнения растут: . Значит, .. Значит, . По -аддитивности, .В силу конечности , .Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд — предел частичных сумм, получаем Так как частичная сумма этого ряда с номером — не что иное, как , то ., , отсюда . В нашем случае .
Значит, по определению. |
Продемонстрируем теперь, что условие конечности меры важно:
Утверждение: |
— существенно. |
Рассмотрим функции , .При фиксированном , для всех . Значит, всюду на .Возьмем ,Значит, Значит, , хотя стремится к почти всюду. |
Замечание: даже в случае конечной меры
последовательность функций, сходящаяся по мере, может не иметь предела ни в одной точке.Единственность предела по мере
Теорема: |
Если последовательность измеримых функций стремится по мере к и , то почти всюду на |
Доказательство: |
Определим следующие множества: Заметим, что : если , то и , а тогда , т.е. .По полуаддитивности меры Если взять . Сумма в правой части стремится к нулю при , следовательно, . такие, что их меры образуют сходящийся ряд, то, поскольку , то , что и требовалось доказать. |