Теорема Шамира

Формулировка

IP = PS

Доказательство

1. [math]IP \subset PS[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in IP[/math]. Чтобы детерменированная машина Тьюринга [math]m[/math] могла установить принадлежность слова [math]x[/math] языку [math]L[/math], ей нужно перебрать все ответы [math]P[/math] и вероятностные ленты [math]V[/math], просимулировав [math]V[/math] с этими данными. Ясно, что эти действия потребуют не более [math]p(|x|)[/math] памяти, а значит [math]L \in PS[/math].

1. [math]PS \subset IP[/math]

Докажем, что язык [math]TQBF \in IP[/math]. Этого достаточно, так как [math]TQBF \in PSC[/math].

Введем следующую арифметизацию булевых формул с кванторами:

• [math]\lnot x \to 1-X[/math]
• [math]x \land y \to XY[/math]
• [math]x \lor y \to 1-(1-X)(1-Y)[/math]
• [math]\exists x \varphi(x) \to \sum_{X=0}^{1} \varPhi(X)[/math]
• [math]\forall x \varphi(x) \to \prod_{X=0}^{1} \varPhi(X)[/math]

Результат этого выражения будет ненулевым в том и только в том случае, если исходная формула была истина.