|
Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика [math]G' : L(G') = L(G) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace [/math].
Для этого достаточно доказать, что
[math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math] тогда и только тогда, когда [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math] (*).
[math]\Rightarrow)[/math]<br\>
Пусть [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math].
Докажем индукцией по длине порождения в грамматике [math]G'[/math], что [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math].
База. [math]A \underset{G'}{\Rightarrow} w[/math].
В этом случае в [math]G'[/math] есть правило [math]A \rightarrow w[/math]. По построению [math]G'[/math] в [math]G[/math] есть правило [math]A \rightarrow \alpha[/math], причем [math]\alpha[/math] — цепочка [math]w[/math], символы которой, возможно, перемежаются [math]\varepsilon[/math]-порождающими нетерминалами. Тогда в [math]G[/math] есть порождения [math]A \underset{G}{\Rightarrow} \alpha \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math].
Предположение. Пусть из [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon[/math] менее, чем за [math]n[/math] шагов, следует, что [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math].
Переход.
Пусть в порождении [math]n[/math] шагов, [math]n \gt 1[/math]. Тогда оно имеет вид [math]A\underset{G'}{\Rightarrow}X_1 X_2...X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math], где [math]X_i \in N \cup \Sigma [/math]. Первое использованное правило должно быть построено по правилу грамматики [math]G[/math] [math]A \rightarrow Y_1 Y_2...Y_m[/math], где последовательность [math]Y_1 Y_2...Y_m[/math] совпадает с последовательностью [math]X_1 X_2...X_k[/math], символы которой, возможно, перемежаются [math]\varepsilon[/math]-порождающими нетерминалами.
Цепочку [math]w[/math] можно разбить на [math]w_1 w_2...w_k[/math], где [math]X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math]. Если [math]X_i[/math] — терминал, то [math]w_i = X_i[/math], a если нетерминал, то порождение [math]X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math] содержит менее [math]n[/math] шагов.
По предположению [math]X_i \underset{G}{\Rightarrow}^*w_i[/math].
Теперь построим соответствующее порождение в [math]G[/math].
- [math]A \underset {G}{\Rightarrow} Y_1 Y_2...Y_m \underset{G}{\Rightarrow}^* X_1 X_2...X_k \underset{G}{\Rightarrow}^* w_1 w_2...w_k = w[/math]
Ч.т.д.
[math]\Leftarrow)[/math]
Пусть [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math].
Докажем индукцией по длине порождения в грамматике [math]G[/math], что [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math].
База. [math]A \underset{G}{\Rightarrow} w[/math].
Правило [math]A \rightarrow w[/math] присутствует в [math]G[/math]. Поскольку [math]w \ne \varepsilon[/math], это же правило будет и в [math]G'[/math], поэтому [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math].
Предположение. Пусть из [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math] менее, чем за [math]n[/math] шагов, следует, что [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w [/math].
Переход. Пусть в порождении [math]n[/math] шагов, [math]n \gt 1[/math]. Тогда оно имеет вид [math]A\underset{G}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...Y_m \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math], где [math]Y_i \in N \cup \Sigma [/math]. Цепочку [math]w[/math] можно разбить на [math]w_1 w_2...w_m[/math], где [math]Y_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math].
Пусть [math]X_1, X_2, ... X_k[/math] будут теми из [math]Y_j[/math] (в порядке записи), для которых [math]w_i \ne \varepsilon[/math]. [math]k \ge 1[/math], поскольку [math]w \ne \varepsilon[/math].
Таким образом [math]A \rightarrow X_1 X_2 ... X_k[/math] является правилом в [math]G'[/math] по построению [math]G'[/math].
Утверждаем, что [math] X_1 X_2...X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math], поскольку только [math]Y_j[/math], которых нет среди [math]X_1, X_2, ... X_k[/math], использованы для порождения [math]\varepsilon[/math] и не вносят ничего в порождение [math]w[/math].
Так как каждое из порождений [math]Y_j \underset{G}{\Rightarrow}^*w_j[/math] содержит менее [math]n[/math] шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что если [math]w_j \ne \varepsilon[/math], то [math]Y_j \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_j[/math].
Таким образом [math]A \underset{G'}{\rightarrow} X_1 X_2 ... X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^* w[/math].
Ч.т.д.
Подставив [math]S[/math] вместо [math]A[/math] в утверждение (*), видим, что [math]w \in L(G)[/math] для [math]w \ne \varepsilon[/math] тогда и только тогда, когда [math]w \in L(G')[/math]. Так как после выполнения шага 5 алгоритма в [math]G'[/math] могло добавиться только пустое слово [math]\varepsilon[/math], то язык, задаваемый КС грамматикой [math]G'[/math], совпадает с языком, задаваемым КС грамматикой [math]G[/math]. |
