Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста

Определение:

Дана упорядоченная пара конечных последовательностей [math]((a_1, \ldots, a_n), (b_1 ,\ldots ,b_n))[/math], где [math]a_i \in \Sigma ^*[/math] и [math]b_i \in \Sigma ^*[/math] для всех [math]i[/math]. Вопрос существования непустой последовательности индексов [math](i_1 , \ldots, i_k)[/math], удовлетворяющей условию [math]a_{i_1} \ldots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots b_{i_k}[/math], где [math]1 \leq i_j \leq n[/math] для каждого j, называется проблемой соответствий Поста (ПСП). Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют решением проблемы соответствий Поста.

Определение:

Проблема соответствий Поста, для которой фиксирован элемент последовательности индексов [math]i_1 = 1[/math], называется модифицированной проблемой соответствий Поста (МПСП).

Утверждение:

Язык пар последовательностей, для которых существует решение ПСП, перечислим.

[math]\triangleright[/math]

Пусть даны последовательности [math]a, b[/math] из условия ПСП. Количество последовательностей индексов, каждый из которых находится в пределах от 1 до [math]n[/math], длины [math]m[/math] равно [math]n^m[/math]. Программа-полуразрешитель [math]p[/math] устроена следующим образом: for [math]m = 1 .. \infty[/math] for all [math](i_1, i_2, \ldots, i_m): 1 \leq i_j \leq n[/math] if [math]a_{i_1} \ldots a_{i_m} = b_{i_1} \ldots b_{i_m}[/math] return 1 Таким образом, язык пар указанных последовательностей полуразрешим, а значит, перечислим.

[math]\triangleleft[/math]

Для МПСП доказательство перечислимости имеющих решение пар аналогично, но перебор индексов ведётся с [math]i_2[/math].

Теорема:

МПСП неразрешима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Выполним m-сведение множества строк, на которых заданная машина Тьюринга (МТ) не зависает, к множеству решений МПСП. Считаем, что Машина Тьюринга ([math]MT[/math]) никогда не приходит в [math]N[/math] - недопуск. [math]MT: (m, \omega)[/math]. Задача [math]m(\omega) = Y[/math] не разрешима. Предположим, что мы умеем решать МПСП. [math]a_1 = \$ \#_s \omega \$[/math], [math]b_1 = \$[/math]. Таким образом выводятся следующие последовательности: [math]\$ A_0 \$ \ldots \$ A_k \$[/math] и [math]\$ A_i \ldots[/math] - мгновенное описание. Если [math]MT[/math] остановится, нужно добиться того, чтобы строка закончилась. Иначе строки будут расти до бесконечности, но никогда не закончатся. [math]\forall c \in \Pi[/math] построим следующую пару [math](a_i=c, b_i = c), (a_i = \$, b = \$)[/math]. [math]b[/math] должно сойтись с соответствующей [math]a[/math] в предыдущем мгновенном описании. Соответственно [math]a_i = d \#_p[/math], [math]b_i = \#_q c[/math] и [math]\delta(q, c) = \langle p, d, \rightarrow \rangle[/math], а также [math]a_i = \#_p a d[/math], [math]b_i a \#_q e[/math] и [math]\delta (a, c) = \langle p, d, \leftarrow \rangle [/math]. Аналогично следует поступить и с переходом на месте, или считаем, что такого не бывает. Как может быть устроен префикс решения МПСП: [math]a[/math]: [math]| \$ | \#_s \omega_1 \$ | d \#_p | w_2 \ldots | \$ | \#_y \$ | \$ |[/math] [math]b[/math]: [math]| \$ | \omega_1 | \omega_2 \ldots | \$ | \#_y \$ \$ |[/math] Требуется добиться остановки. Для этого добавляется далее: [math]a = \#_y[/math], [math]b = \#_y c[/math] или [math]a = \#_y[/math], [math]b = c \#_y[/math] или [math]a = \$[/math], [math]b = \#_y \$ \$[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

ПСП неразрешима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Выполним m-сведение множества решений МПСП к множеству решений ПСП. Пусть даны последовательности [math]a, b[/math] из условия МПСП. Обозначим как [math]left(w, c)[/math] и [math]right(w, c)[/math] строки, состоящие из символов [math]w[/math], разделённых [math]c[/math]: [math]left(w, c) = c w_1 c w_2 \ldots c w_k[/math], [math]right(w, c) = w_1 c w_2 c \dots w_k c[/math]. Построим две новые последовательности [math]a', b'[/math]: [math]a'_1 = \$ right(a_1, \$)[/math], [math]b'_1 = left(b_1, \$)[/math]; [math]\forall i = 1 .. n[/math]: [math]a'_{i+1} = right(a_i, \$)[/math], [math]b'_{i+1} = left(b_i, \$)[/math]; [math]a'_{n+2} = \#[/math], [math]b'_{n+2} = \$ \#[/math], где [math]\$[/math], [math]\#[/math] — символы, не встречающиеся в словах исходных последовательностей. Утверждение: Существование решения МПСП для [math]a, b[/math] эквивалентно существованию решения ПСП для [math]a', b'[/math]. [math]\triangleright[/math] [math]\Rightarrow[/math] Пусть [math]w_a = a_1 a_{i_2} \ldots a_{i_k}[/math], [math]w_b = b_1 b_{i_2} \ldots b_{i_k}[/math], [math]w_a = w_b[/math]. Рассмотрим [math]w'_a = a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = \$ right(a_1, \$) right(a_{i_2}, \$) \ldots right(a_{i_k}, \$) \#[/math], [math]w'_b = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2} = left(b_1, \$) left(b_{i_2}, \$) \ldots left(b_{i_k}, \$) \$ \#[/math]. На чётных позициях в [math]w'_a[/math] и [math]w'_b[/math] стоят равные символы из [math]w_a[/math] и [math]w_b[/math], а также [math]\#[/math] (в конце); на нечётных — [math]\$[/math]. Следовательно, [math]w'_a = w'_b[/math], то есть [math]a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2}[/math]. [math]\Leftarrow[/math] В любом существующем решении ПСП для [math]a', b'[/math] должны выполняться условия: [math]i_1 = 1[/math], так как только в паре [math](a'_1, b'_1)[/math] первые символы совпадают; последний индекс равен [math]n+2[/math], так как только в паре [math](a'_{n+2}, b'_{n+2})[/math] строки заканчиваются одинаковыми символами. Пусть [math]a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_k} = b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_k}[/math]. Если [math]i_f[/math] — наименьший индекс, равный [math]n+2[/math], то [math]a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_f}[/math], [math]b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_f}[/math] — префиксы исходных конкатенаций до первого символа [math]\#[/math], следовательно, равны между собой. [math]i_1, \ldots, i_f[/math] — также решение ПСП, причём [math]i_1 = 1[/math], [math]i_f = n + 2[/math]. Остальные индексы не превосходят [math]n+1[/math], но и не равны [math]1[/math], иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух [math]\$[/math] подряд, а в правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство: [math]\$ right(a_1, \$) right(a_{i_2-1}, \$) \ldots right(a_{i_{f-1}-1}, \$) \#[/math] [math]=[/math] [math]left(b_1, \$) left(b_{i_2-1}, \$) \ldots left(b_{i_{f-1}-1}, \$) \$ \#[/math]. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца [math]\#[/math], получим [math]a_1 a_{i_2-1} \ldots a_{i_{f-1}-1} = b_1 b_{i_2-1} \ldots b_{i_{f-1}-1}[/math]. [math]\triangleleft[/math] По доказанному ранее, МПСП неразрешима. Тогда, вследствие теоремы для m-сведения, ПСП неразрешима.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.