Теорема Левина

По одному из определений [math]NP[/math] языка, язык [math]L[/math] принадлежит [math]NP[/math], если существует такая функция [math]R(x, y) \in \tilde{P}[/math] — [math]NP[/math]-отношение для языка [math]L[/math] ([math]NP[/math]-relation), что: [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y[/math] — такой сертификат для [math]x[/math], что: [math]|y| \le poly(|x|)[/math] и [math]R(x, y) = 1[/math]. Таким образом, для проверки принадлежности некоторого слова [math]NP[/math] языку [math]L[/math] с [math]NP[/math]-отношением [math]R[/math] необходимо предъявить соответствующий сертификат. Так как для любого слова из языка существует подтверждающий сертификат, то существует программа [math]g(x)[/math], которая для слов из языка возвращает нужный сертификат. А для слов не из языка никаких гарантий на возвращаемое значение функции нет, и потому она может либо вернуть неправильный сертификат, либо вообще зависнуть.

Встает вопрос о возможности построения «оптимальной» программы для заранее заданного [math]NP[/math] языка [math]L[/math] и [math]NP[/math]-отношения для этого языка [math]R[/math], которая будет находить сертификат для слова. Оптимальность программы в данном случае означает, что время ее работы для слов из языка не сильно хуже, чем у любой другой программы, правильно находящей сертификат для слов из языка.

Формулировка

Теорема Левина об оптимальной [math]NP[/math] программе утверждает, что для любого языка [math]L \in NP[/math] и функции [math]R[/math] ([math]NP[/math]-отношения для [math]L[/math]) существует такая программа [math]f[/math], что:

1. [math]\forall x \in L[/math] выполнено [math]R(x, f(x)) = 1[/math];
2. [math]\forall g[/math] — такой программы, что [math]\forall x \in L: R(x, g(x)) = 1[/math] выполнено [math]\forall x \in L: T(f, x) \le C(g) \cdot (T(g, x) + poly(|x|))[/math], где [math]T(f, x)[/math] — время работы программы [math]f[/math] на входе [math]x[/math].

Заметим, что функция [math]C(g)[/math] не зависит от слова [math]x[/math], т.е. константа от [math]x[/math].

Доказательство

Для доказательства теоремы будем строить оптимальную [math]NP[/math] программу [math]f[/math] для некоторого [math]NP[/math] языка [math]L[/math] и [math]NP[/math] отношения [math]R(x, y)[/math] для него.

Занумеруем все программы [math]g_1, g_2, ... , g_n, ...[/math] сначала по длине программы, а в случае равенства длин — лексикографически.

Будем запускать [math]g_i[/math] каждый раз на один шаг и запоминать полученное состояние запущенной программы. Запускать будем в следующем порядке: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5 и так далее. Заметим, что мы запускаем программу [math]g_i[/math] каждый [math]2^i[/math]-й раз, а потому, если программа [math]g_i(x)[/math] завершается за [math]k[/math] шагов, то [math]f[/math] совершит не больше [math]2^i \cdot k[/math] шагов до момента завершения [math]g_i[/math] на входе [math]x[/math] в программе [math]f[/math].

После того, как программа [math]g_i[/math] остановилась, на её месте будем запускать программу [math]R(x, y)[/math], где [math]y[/math] - значение, которое вернула [math]g_i(x)[/math]. Причем [math]f[/math] совершит не больше [math]2^i \cdot poly(|x + y|)[/math] шагов до завершения программы [math]R(x, y)[/math], так как [math]R \in \tilde{P}[/math] и она запускается каждый [math]2^i[/math]-й раз. Если [math]R(x, y)[/math] вернула [math]true[/math], то возвратим [math]y[/math], так как [math]y[/math] — нужный сертификат для [math]x[/math], а если [math]false[/math], то ничего на этом месте больше запускать не будем.

Осталось доказать, что данная программа действительно удовлетворяет пунктам 1 и 2 теоремы Левина.

1. Так как программа [math]f[/math] возвращает только те [math]y[/math], для которых [math]R(x, y) = 1[/math], то [math]R(x, f(x)) = 0[/math] получиться не может. Покажем, что и зависнуть на словах из языка [math]f[/math] не может. Как выше уже упоминалось, если слово принадлежит языку [math]L[/math], то для него есть сертификат, а значит есть и программа [math]g[/math], которая, например, просто этот сертификат возвращает. Так как все программы рано или поздно будут занумерованы, то и [math]g[/math] будет занумерована, а следовательно и запущена. После остановки [math]g[/math] и проверки правильности [math]y[/math] программа [math]f[/math] вернет его.
2. Если программа [math]g(x)[/math] правильно находит сертификаты для слов из языка и завершается за [math]k[/math] шагов для некоторого слова [math]x[/math] из [math]L[/math], то программа [math]f[/math] завершится не более, чем за [math]2^i \cdot (k + poly(|x + y|))[/math] шагов для этого же слова. Заметим, что [math]2^i \cdot (k + poly(|x + y|))=2^i \cdot (k + poly(|x|))[/math], так как [math]y[/math] — сертификат для [math]x[/math] и потому [math]|y| \le poly(|x|)[/math].

Теорема доказана.