Сопряжённый оператор

Эта статья находится в разработке!

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

Определение:

[math] E^* [/math] — множество линейных непрерывных функционалов над [math] E [/math], его называют пространством, сопряженным к [math] E [/math]. Аналогично, [math] E^{**} [/math] — пространство, сопряженное к [math] E^* [/math].

Естественное вложение

Покажем, что между [math] E [/math] и [math] E^{**} [/math] существует так называемый естественный изоморфизм, сохраняющий норму точки.

Введем [math] F_x [/math] следующим образом: [math]\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} [/math].

[math] F_x : E^{*} \to \mathbb{R} [/math] — функционал, заданный на [math]E[/math], то есть [math] F_x \in E^{**} [/math].

Тогда само [math] F [/math] отображает [math] E [/math] в [math] E^{**} [/math].

[math] F [/math] линейно: [math] F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} [/math].

[math] | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| [/math], откуда [math] \| F_x \| \le \| x \| [/math].

С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, [math] \forall x_0 \in E, \exists f_0 \in E^* [/math], что выполняются два условия:

1. [math] f_0(x_0) = \| x_0 \| [/math]
2. [math] \| f_0 \| = 1 [/math].

[math] | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 [/math], потому получаем, что [math] \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| [/math].

Значит, получившееся преобразование [math] x \mapsto F_x [/math] — изометрия, [math] \| x \| = \| F_x \| [/math], получили естественное вложение [math] E [/math] в [math] E^{**} [/math].

[math] E [/math] называется рефлексивным, если [math] E [/math] будет совпадать с [math] E^{**} [/math] при таком отображении.

Например, гильбертово пространство [math] H [/math] рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

[math] C[0, 1] [/math] — не является рефлексивным.

Сопряженный оператор

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math] — сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:

Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math] x \in E, \varphi \in F^* [/math]. [math] | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| [/math]. Получили, что [math] \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| [/math], откуда [math] \| A^* \| \le \| A \| [/math]. Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха: По определению нормы: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon \lt \| Ax \| [/math]. [math] Ax \in F [/math], по теореме Хана-Банаха подберем [math] \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| [/math]. [math] \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| \gt \| A \| - \varepsilon [/math]. [math] \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| [/math]. Соединяя эти два неравенства, получаем, что [math] \forall \varepsilon \gt 0: \| A^* \| \gt \| A \| - \varepsilon [/math]. Устремляя [math] \varepsilon [/math] к нулю, получаем, что [math] \| A^* \| \ge \| A \| [/math], и, окончательно, [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры сопряженных операторов

Возьмем любое гильбертово пространство [math] H [/math], [math] A : H \to H [/math].

[math] \forall \varphi \in H^* [/math] по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в [math] H [/math] существует [math] z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| [/math].

Поскольку [math] x \mapsto \varphi (Ax) [/math] также является линейным функционалом [math] H \to H [/math], то [math] \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle [/math], где [math] y [/math] не зависит от [math] x [/math].

Имеем отображение [math] z \mapsto y [/math], тогда [math] y = A^*(z) [/math], и окончательно:

[math] \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle [/math].

В гильбертовом пространстве [math] H [/math] сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

Определение:

Оператор [math] A [/math] называется самосопряженным, если [math] A = A^* [/math]

В случае [math] \mathbb{R}^n [/math] (частный случай [math] H [/math]) оператор [math] A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n [/math] представляет собой матрицу размером [math] n \times n [/math]. Сопряженный к [math] A [/math] оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: [math] A^* = A^T [/math]. Для симметричной матрицы [math] A [/math] получается [math] A^* = A^T = A [/math], то есть, если [math] A [/math] — симметричная матрица, то [math] A [/math] — самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство [math] E = L_p [0, 1] [/math].

Пусть [math] K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} [/math] — непрерывная функция на [math] [0, 1] \times [0, 1] [/math], [math] x \in E [/math].

Интегральный оператор [math] A [/math], действующий из [math] L_p [0, 1] [/math] в [math] L_p [0, 1] [/math] определяется так: [math] A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt [/math]. [math] Ax \in E [/math].

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в [math] L_p [/math] TODO: Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.,

[math] \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q [/math], где [math] \frac 1p + \frac 1q = 1 [/math] ([math] p [/math] и [math] q [/math] называются сопряженными показателями).

[math] L_p^* = L_q [/math].

[math] A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = [/math] (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) [math] = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt [/math]

Получили, что [math] A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt [/math]. Обозначим [math] z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds [/math], тогда [math] A^* (\varphi) \equiv z [/math], аналогично [math] \varphi \equiv y [/math].

[math] A^* [/math] — интегральный оператор из [math] L_q [/math], имеющий ядро [math] K^*(s, t) = K(t, s) [/math]. В частности, если ядро симметрично ([math] K(s, t) = K(t, s) [/math]), и [math] k = 2 [/math], то [math] A = A^* [/math]

Ортогональное дополнение

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

[math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math].

[math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math] — ортогональное дополнение [math] S \subset E^* [/math].

Аналогично определяется для [math] T \subset E : T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].

Утверждение:

[math] \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} [/math].

[math]\triangleright[/math]

Оба включения [math] \subset [/math] очевидны по определению. В обратную сторону: Пусть [math] x \in (E^*)^{\bot} [/math], тогда [math] \forall f \in E^*: f(x) = 0 [/math] Предположим, что [math] x \neq 0 [/math], тогда по теореме Хана-Банаха, [math] \exists f: f(x) = \| x \| \neq 0 [/math], получили противоречие, что [math] x \in (E^*)^{\bot} [/math]. Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Теоремы о множестве значений оператора

TODO: придумать нормальный заголовок <wikitex> Следующие две теоремы — условие разрешимости операторных уравнений. Смысл: $Ax = y$, $y$ — дано, то ответ на вопрос, есть ли решение, состоит в проверке $y \in R(A)$, но можно ограничиться $R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot$, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: $y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*$.

Например, $A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, $Ax = y$, $y$ — дано. Надо смотреть $y \perp \operatorname{Ker} A^*$, то есть $A^\top y = 0$.

Далее введем класс бесконечномерных операторов, для которых $R(A)$ — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

Теорема 1

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

$\varphi \in \operatorname{Ker}A^*$, $A^* \varphi = 0$, $\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0$ $y \in R(A) \implies y = Ax, \varphi \in \operatorname{Ker} A^* \implies \varphi y = \varphi(A x) = 0 \implies R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp$ $y \in \operatorname{Cl} R(A), y = \lim y_n, y_n \in R(A), \varphi \in \operatorname {Ker}^* (A)$ $\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp$ $\implies y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies(?) y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ Проверим обратное: $y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies (?) y \in \operatorname{Cl} R(A)$. Пусть это не так: $ y \notin \operatorname{Cl} R(A)$. Рассмотрим [math] F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} [/math]. $F_1$ — линейное множество в силу линейности $\operatorname{Cl}(R(A))$. Покажем, что это подпространство $F$. $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1 ?$. Проверим: $z_т+t_{n}y \to u \implies (?) u \in F_1$, т.е. $u = z + ty$. Если $\mid t_{n}\mid <= const \implies$ выберем $t_{n_k}$, стремящееся к какому-то $t$. Из $z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty \implies z_n \to z \in \operatorname{Cl}(F_1)$. $z_{n_k}+t_{n_k}y \to z+ty$ и $z_{n_k}+t_{n_k}y \to z+ty \implies u = z+ty$. Если допустить, что $t_{n_k} \to \infty$: $z_{n_k}+t_{n_k}y \to u$. $z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ — противоречие. $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$. Построим на $F_1$ фунционал $\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t \implies \varphi_0(z) = 0$ — функционал, обнуляющийся на $\operatorname{Cl}(R(A))$. Он очевидно непрерывен, по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на $F: \widetilde{\varphi} \in F^*$. $\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0$ $\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \varphi_0(y) = 0$. C другой стороны $\varphi_0(y) = 1$ — противоречие, т.к. $y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ TODO: Проверьте, я сам не уверен, особенно в доказательстве $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$ там как-то не оч

[math]\triangleleft[/math]

Теорема 2

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math]f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*[/math]. Рассмотрим [math] x \in (\operatorname{Ker}A). [/math] [math]f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp[/math]. 2) Докажем теперь обратное включение: Рассмотрим [math]f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp[/math], если [math]Ax=0[/math], то [math]f(x)=0[/math]. Теперь надо показать, что [math]f \in R(A^*)[/math], т.е. проверить, что [math]f = \varphi A^*[/math]. TODO: Далее творится какой-то ад с использованием т. Х-Б, кто прошаренный в матане, напишите пожалуйста, особенно про факторизацию

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>