Коэффициенты Фурье
| Определение: |
| Пусть [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] - ОРТН-система векторов
Тогда числа [math]\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle[/math] называются коэффициентами Фурье вектора [math]x[/math] относительно системы [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] |
NB: [math]\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)[/math]
Неравенство Бесселя
| Лемма: |
[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{\text{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =
\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle[/math];
Т.к. у нас ОРТН-базис, то [math]\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}[/math], поэтому одно суммирование можно убрать:
[math]\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (неравенство Бесселя): |
[math]\Vert x\Vert^2 \ge \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы |
| [math]\triangleleft[/math] |
Равенство Парсеваля
| Теорема (равенство Парсеваля): |
[math]\Vert x\Vert^2 =\sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2 \Longleftrightarrow x\in L[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема: |
Для того, чтобы ОРТН-система векторов [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] могла бы быть полной в евклидовом пространстве [math]E[/math], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: [math]\Vert x\Vert^2 =\sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2[/math], где [math]n=\dim E[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Достаточность: пусть [math]n\ne\dim E[/math], тогда т.к. [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] - ОРТН-система, то набор [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] - ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если [math]n=\dim L[/math]
Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля. |
| [math]\triangleleft[/math] |
