Эквивалентность состояний ДКА

Эквивалентность автоматов

• Определение: Два автомата [math]\mathcal{A}_1(Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{10}, T_1\subseteq Q_1)[/math] и [math]\mathcal{A}_2(Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{20}, T_2\subseteq Q_2)[/math] называются эквивалентными, если они распознают один и тот же язык над алфавитом [math]\Sigma[/math].
• Определение: Два состояния [math]q_i[/math] и [math]q_j[/math] называются эквивалентными [math](q_i \sim q_j)[/math], если [math]\forall z\in \Sigma^*[/math] верно, что [math]\delta(q_i, z)\in T \Leftrightarrow \delta(q_j, z)\in T[/math]. Из этого следует, что если два состояния [math]q_i[/math] и [math]q_j[/math] эквивалентны, то и состояния [math]\delta_1(q_i, a)[/math] и [math]\delta_2(q_j, a)[/math] будут эквивалентными для [math]\forall a \in \Sigma[/math]. Кроме того, т.к. переход [math]\delta(q, \varepsilon)[/math] может возникнуть только для конечного состояния [math]q[/math], то никакое допускающее(терминальное) состояние не может быть эквивалентно не допускающему состоянию. Нахождение классов эквивалентных состояний внутри автомата и их совмещение в одно состояние используется в быстром алгоритме Хопкрофта для минимизации автомата, работающий за [math]O(n \log n)[/math].
• Определение: Слово [math]z \in \Sigma^*[/math] различает два состояния [math](q_i \nsim q_j)[/math], если [math]\delta(q_i, z)\in T \Leftrightarrow \delta(q_j, z)\notin T[/math]. Также, если слово [math]z[/math] различает состояния [math]t_1[/math] и [math]t_2[/math] такие, что [math]t_1=\delta(q_1, a)[/math] и [math]t_2=\delta(q_2, a)[/math], то слово [math]aw[/math] различает состояния [math]q_1[/math] и [math]q_2[/math]. Нахождение пар различных состояний в автомате используется в алгоритме минимизации автомата, работающий за [math]O(n^2)[/math].

• Пример двух эквивалентных автоматов:

Состояния [math]B[/math] и [math]C[/math] допускающие.

Проверка эквивалентности автоматов

• Если положить, что начальные состояния эквивалентны, то последовательно, переходя по одному символу из состояний, можем получить и другие пары эквивалентных состояний. Если же в одну из таких пар попадут допускающее состояния вместе с не допускающим, то такие [math]q_i[/math] и [math]q_j[/math] неэквивалентны.
• Таким образом получим разбиение множества [math] Q_1\cup Q_2[/math] на множества эквивалентных состояний. После этого проверим, что никакое из этих множеств не содержит допускающее и не допускающее состояние одновременно, тогда автоматы эквивалентны.

Литература

• Н.Н. Вояковская, А.Е. Москаль, Д.Ю. Булычев, А.А. Терехов - "Разработка компиляторов"