Примеры булевых функций

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определение булевой функции

Определение:
Булева функция - отображение Bn → B , где B={0, 1}. n - количество аргументов функции, также называется ее арностью.

Для n переменных существует 2n различных наборов аргументов, и, соответственно, 22n различных функций от них.

Виды булевых функций

От нуля переменных(нульарные функции)

Для 0 переменных есть только один набор аргументов(пустое множество) и две функции - тождественный 0 и тождественная 1.

От одной переменной(унарные функции)

Для 1 переменной есть два набора аргументов - {0} и {1}. Для них определено четыре унарных функции.

x 0 x ¬x 1
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
Сохраняет 0 1 1 0 0
Сохраняет 1 0 1 0 1
Самодвойственная 0 1 1 0
Монотонная 1 1 0 1
Линейная 1 1 1 1

0 - тождественный ноль

x - тождественная функция

¬x - отрицание, также обозначается [math]\overline{x}[/math]

1 - тождественная единица

От двух переменных(бинарные функции)

Для двух переменных есть четыре набора переменных - {0,0}, {0,1}, {1,0} и {1,1}, для них определено 16 бинарных функций.

x y 0 [math]\nrightarrow[/math] x [math]\nleftarrow[/math] y ¬y ¬x 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Сохраняет 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Сохраняет 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Самодвойственная 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
Монотонная 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Линейная 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

0 - тождественный 0

∧ - конъюнкция, логическое И, также обозначается x and y, x&y , x·y

x - первый проектор, также обозначается p1 или px

y - второй проектор, также обозначается p2 или py

⊕ - сложение по модулю 2, также обозначается x xor y, x≠y

∨ - дизъюнкия, логическое ИЛИ, также обозначается x or y, x+y , x | y

↓ - стрелка Пирса. Образует безызбыточный базис.

↔ - эквивалентность, также обозначается x=y

¬y - отрицание второго проектора

¬x - отрицание первого проектора

← - обратная ипликация, также обозначается x≥y

→ - импликация, также обозначается x≤y

∇ - штрих Шеффера. Образует безызбыточный базис.

1 - тождественная 1