Участник:Iloskutov/Матан 4сем

Определения

Поверхностный интеграл первого рода

Определение:

[math]\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt[/math]

Кусочно-гладкая поверхность в R^3

Определение:

[math]M \subset \mathbb R^3[/math] называется кусочно-гладкой, если [math]M[/math] представляет собой объединение: конечного числа простых гладких поверхностей конечного числа простых гладких дуг конечного числа точек

Сторона поверхности

Определение:

Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности

Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов

Определение:

Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности

Определение:

Поле реперов [math]v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3[/math], если [math]\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle[/math] — касательный репер

Определение:

Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов: [math]n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}[/math]

Теоремы

Теорема об интегрировании положительных рядов

Теорема:

Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

Теорема:

Теорема Фату

Теорема:

Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

Теорема:

Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

Теорема:

Вычисление интеграла Дирихле

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

Теорема:

Критерий плотности

Теорема:

Лемма о множествах вполне положительности заряда

Теорема:

Теорема Радона--Никодима. Доказательство единственности

Теорема:

Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования

Теорема:

Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости

Теорема:

Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме

Теорема:

Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега

Теорема:

Теорема о произведении мер

Теорема:

Принцип Кавальери

Теорема:

Теорема Тонелли

Теорема:

Формула для Бета-функции

Теорема:

Теорема Фубини

Теорема:

Объем шара в $\mathbb R^m$

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой)

Теорема:

Теорема о вложении пространств [math]L^p[/math]

Теорема:

[math](X, a, \mu)[/math] [math]\mu(X) \lt +\infty[/math] [math]1 \leqslant s \lt r \lt +\infty[/math], тогда [math]L^r \subset L^s[/math] [math]\parallel f \parallel_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \parallel f \parallel_r[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Шмяк-шмяк и готово

[math]\triangleleft[/math]

Полнота $L^p$

Теорема:

Плотность в $L^p$ множества ступенчатых функций

Теорема:

Лемма Урысона

Теорема:

Плотность в $L^p$ непрерывных финитных функций

Теорема:

Теорема о непрерывности сдвига

Теорема:

Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве

Теорема:

Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе

Теорема:

Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема:

Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля

Теорема:

Теорема о характеристике базиса

Теорема:

Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда

Теорема:

Теорема Римана--Лебега

Теорема:

Принцип локализации Римана

Теорема:

Признак Дини. Следствия

Теорема:

Корректность определения свертки

Теорема:

Свойства свертки функции из $L^p$ с функцией из $L^q$

Теорема:

Теорема о свойствах аппроксимативной единицы

Теорема:

Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических

Теорема:

Теорема Фейера

Теорема:

Полнота тригонометрической системы

Теорема:

Формула Грина

Теорема:

Формула Стокса

Теорема:

Формула Гаусса--Остроградского

Теорема:

Бескоординатное определение ротора

Теорема:

Бескоординатное определение дивергенции

Теорема:

Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции

Теорема: